数学九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质第1课时习题

这是一份数学九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质第1课时习题，共3页。试卷主要包含了8 m，求CN的长．等内容，欢迎下载使用。
第1课时 与相似三角形的高、角平分线、中线等有关的性质


01 基础题


知识点1 相似三角形对应高的比等于相似比


1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，DE＝4，那么它们的对应边上的高的比为(D)


A．1∶2 B．3∶2


C．2∶1 D．1∶4


2．如图，在△PCD中，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，求AB与CD之间的距离．





解：∵AB∥CD，


∴△PAB∽△PCD.


设AB与CD之间的距离是x m，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得eq \f(AB,CD)＝eq \f(2.7－x,2.7).


∴eq \f(2,6)＝eq \f(2.7－x,2.7).解得x＝1.8.


∴AB与CD之间的距离为1.8 m.





知识点2 相似三角形对应角平分线的比等于相似比


3．两个相似三角形对应高之比为3∶1，那么它们对应角平分线之比为(B)


A．1∶3 B．3∶1


C．1∶4 D．1∶8


4．如图，已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的角平分线，且AB＝10 cm，DE＝5 cm，AM＝12 cm，求DN的长．





解：∵△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的角平分线，


∴eq \f(DN,AM)＝eq \f(DE,AB).


又∵AB＝10 cm，DE＝5 cm，AM＝12 cm，


∴eq \f(DN,12)＝eq \f(5,10).∴DN＝6 cm.





知识点3 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比


5．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为eq \f(3,4)，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)


A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(9,16) D.eq \f(16,9)


6．已知△ABC∽△DEF，对应角平分线的比为4∶3，△ABC中AB边上的中线为12，则△DEF中DE边上的中线为9．


7．如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线．AD与A′D′的和为15 cm，分别求AD和A′D′的长．





解：∵△ABC∽△A′B′C′，且AB＝15 cm，A′B′＝10 cm，


∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(3,2).


∵AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，


△ABC∽△A′B′C′，


∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(3,2).


∵AD＋A′D′＝15，


∴AD＝9 cm，A′D′＝6 cm.








8．如图，△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点．已知AC＝6，BC＝4，BE＝3，求DF的长．





解：∵△ABC∽△BDC，E，F分别为AC，BC的中点，


∴eq \f(BE,DF)＝eq \f(AC,BC).


∴eq \f(3,DF)＝eq \f(6,4).


∴DF＝2.








02 中档题


9．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的对应角平分线的比为(B)


A．2∶3 B．2∶5


C．3∶5 D．5∶2


10．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线是4或25．


11．如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG＝4 cm，求CF的长．





解：∵AD∶DB＝4∶3，


∴AD∶AB＝4∶7.


∵DE∥BC，


∴△ABC∽△ADE.


∵CF，EG分别是△ABC与△ADE的中线，


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(EG,CF).∴eq \f(4,7)＝eq \f(4,CF).


∴CF＝7 cm.





12．如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G，F在BC边上，D，E分别在AB，AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC＝12 cm，AH＝8 cm，求正方形DEFG的边长．





解：设正方形DEFG的边长为x cm，


则AM＝AH－HM＝(8－x)cm.


∵DE∥BC，


∴△ADE∽△ABC.


∴eq \f(AM,AH)＝eq \f(DE,BC)，即eq \f(8－x,8)＝eq \f(x,12)，


解得x＝4.8.


即正方形DEFG的边长为4.8 cm.





13．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝∠ACD＝90°，BM⊥AC于点M，CN⊥AD于点N，且BC＝12，BM＝8，CD＝15.求CN的长．





解：∵AC平分∠BAD，


∴∠BAC＝∠CAD.


又∵∠ABC＝∠ACD＝90°，


∴△ABC∽△ACD.


又∵BM⊥AC，CN⊥AD，


∴eq \f(CN,BM)＝eq \f(CD,BC).


又∵BC＝12，BM＝8，CD＝15，


∴eq \f(CN,8)＝eq \f(15,12).


∴CN＝10.





03 综合题


14．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AC＝8，BC＝6.





(1)求eq \f(DF,DE)的值；


(2)求四边形DECF的面积．


解：(1)∵CD是Rt△ABC斜边上的高，


∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.


∴∠B＝∠ACD，∠ADC＝∠CDB.


∴△ACD∽△CBD.


又∵DF⊥BC，DE⊥AC，


∴eq \f(DF,DE)＝eq \f(BC,CA).


又∵BC＝6，AC＝8，


∴eq \f(DF,DE)＝eq \f(BC,CA)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).


(2)由(1)可知eq \f(DF,DE)＝eq \f(3,4)，设DF＝3x，则DE＝4x.


∴S△ACD＝eq \f(1,2)AC·DE＝eq \f(1,2)×8×4x＝16x，


S△BCD＝eq \f(1,2)BC·DF＝eq \f(1,2)×6×3x＝9x.


又∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)×8×6＝24，


∴16x＋9x＝24，解得x＝eq \f(24,25).


∴S四边形DECF＝DE·DF＝4x·3x＝12x2＝12×(eq \f(24,25))2＝eq \f(6 912,625).