初中数学人教版七年级上册4.1.2 点、线、面、体测试题

点、线、面、体

一.   选择题

1．用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形.其中所有正确结论的序号是（    ）

A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④

【答案】B

【解析】详解：：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；

②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；

③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；

④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．

故选：B.

2．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是(        )

A．这个棱柱有4个侧面 B．这个棱柱有5个侧面

C．这个棱柱的底面是十边形 D．这个棱柱是一个十棱柱

【答案】B

【解析】已知一个棱柱有10个顶点，可知它是五棱柱，五棱柱有5个侧面，有5条侧棱，底面是五边形．故选B．

名师点睛：根据n棱柱，一定有2n个顶点，有n条侧棱，n个侧面进行判断即可．熟记n棱柱的特征，即棱数与侧棱、与侧面、与底面的边数之间的关系，是解决此类问题的关键．

3．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（　　）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选：A．

4．一个七棱柱的顶点的个数为(    )

A．7个 B．9个 C．14个 D．15个

【答案】C

【详解】解：一个七棱柱共有：7×2=14个顶点．

故选：C．

5．一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用5个水平的平面纵向平均截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（　　）

A.球体 B.圆柱 C.圆锥 D.球体或圆锥

【答案】C

【解析】选项A,球体截完是圆，由小变大，再变小,A错

选项B,圆柱截完都是等圆，B错.

选项C,圆锥是由小变大，或者由大变小.C正确.

选项D,错误.

所以选C.

6．用平面去截下列几何体，不能截出三角形的是（       ）.

A．立方体    B．长方体    C．圆柱    D．圆锥

【答案】C

【解析】A、正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；

B、长方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形，不符合题意；

C、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；

D、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；

故选：C．

7．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是(　　)

A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱

【答案】A

【解析】试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案.

试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥.

故选A.

8．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（　　）

A．圆锥 B．球体 C．圆柱 D．以上都有可能

【答案】C

【详解】A.用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是四边形，A选项错误；

B.用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，B选项错误；

C.用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，C选项正确；

D.根据以上分析可得此选项错误，故选C．

9．（2019·福田区侨香外国语学校初一期中）用一个平面截下列几何体,截面可能是三角形的是（   ）

①正方体②球体③圆柱④圆锥

A．①    B．①②    C．①④    D．①③④

【答案】C

【详解】①正方体能截出三角形；

②球体不能截出三角形；

③圆柱不能截出三角形；

④圆锥能截出三角形.

故截面可能是三角形的有①④.

故选：C.

10．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．

下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（　　）

A.五棱柱 B.六棱柱 C.七棱柱 D.八棱柱

【答案】B

【解析】∵九棱锥有18条棱，五棱柱有15条棱， 六棱柱有18条棱，七棱柱有21条棱，八棱柱有24条棱，

∴六棱柱的棱数与九棱锥的棱数相等.

二.   填空题

11．用一平面去截一个正方体，得到的截面形状中最多是_____边形．

【答案】六．

【分析】

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此最多可以截出六边形．

【详解】解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，

∴最多可以截出六边形，

故答案为：六．

12．已知长方形的长为4cm，宽3cm，现将这个长方形绕它的一边所在直线旋转一周，则所得到的几何体的体积为_____cm3．

【答案】48π或36π．

【详解】解：V=π×42×3=48π，

V=π×32×4=36π.

故答案为：48π或36π．

13．如图，一个边长为2的正方形和等腰直角三角形的一边重合，组成了一个平面图形，如果将它绕所在直线按逆时针方向旋转，得到一个几何体，则这个几何体的体积为_______.（圆锥的体积公式为：）

【答案】

【分析】

观察图形可知，旋转后，上面是一个底面半径为2，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为2，高为2的圆柱体，根据圆柱以及圆锥的体积公式即可求出它们的体积.

【详解】察图形可知，旋转后，上面是一个底面半径为2，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为2，高为2的圆柱体，

则这个几何体的体积为：

故答案为：

14．用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：①正方体；②三棱锥；③圆柱；④圆锥 _____（写出所有正确结果的序号）．

【答案】①②④

【详解】①当平面经过正方体的三个顶点时，所得到的截面为三角形.

②当平面平行于三棱锥的任意面时，得到的截面都是三角形.

③用平面截圆柱时，可以得到圆，椭圆或长方形，不能得到三角形截面.

④当平面沿着母线截圆锥时，可以得到三角形截面.

故答案为:①②④.

15．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为      　．

【答案】24。

【解析】挖去一个棱长为1cm的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，则表面积是2×2×6=24。

三.   解答题（共3小题)

16．如图在直角三角形ABC中，边AC长4cm，边BC长3cm，边AB长5cm．

（1）三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何体体积是否一样？通过计算说明；

（2）若绕着边AB旋转一周，所得的几何体的体积是多少？

【答案】（1）三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何的体积不一样；（2）9.6πcm2

【分析】

（1）先分别求出旋转后得出的圆锥的体积，再比较即可；

（2）求出直角△ABC的高CD，再求出圆锥的体积即可．

【详解】（1）三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积是×π×32×4=12π（cm）2；

三角形绕着边BC旋转一周，所得几何体的体积是×π×42×3=16π（cm）2；

∵12π≠16π，

∴三角形绕着边AC旋转一周，所得几何体的体积和绕着边BC旋转一周所得几何的体积不一样；

（2）过C作CD⊥AB于D，

∵AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，

又∵32+42=52，

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°

由三角形的面积公式得：，

CD=2.4（cm），

由勾股定理得：AD==3.2（cm），BD=5cm﹣3.2cm=1.8cm，

绕着边AB旋转一周，所得的几何体的体积是：×π×2.42×3.2+×1.8=9.6π（cm）2．

17．如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为8m,粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为9m,粮仓下半部分高为6m，观察并回答下列问题：

（1）粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是________；

（2）用一个平面去截粮仓，截面可能是____________(写出一个即可)；

（3）如图，将下面的图形分别绕虚线旋转一周，哪一个能形成粮仓？用线连一连；

（4）求出该粮仓的容积（结果精确到0.1，取3.14）.

【答案】（1）圆柱和圆锥；（2）圆；（3）见解析；（4）351.7m3.

【解析】试题分析：（1）由简单几何体的概念即可解答；

（2）用一个平面去截圆锥或圆柱，都可以得到一个圆，即可解答；

（3）根据圆柱和圆锥的定义，即可解答此题；

（4）粮仓体积分为圆柱和圆锥两部分计算体积.

试题解析：（1）粮仓上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，

故答案为：圆柱和圆锥；

（2）用一个平面去截圆锥或圆柱，都可以得到一个圆，

故答案为：圆；

（3）连线如下：

（4）粮仓的体积为3.14×42×6+3.14×42×3×=351.7m3.

18．将一个正方体的表面全涂上颜色．

（1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a=　   　；

（2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b=　   　；

（3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　   　；

（4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到　   　个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　   　．

【答案】（1）8；（2）9；（3）32；（4），．

【解析】根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，处于正中心的没涂色．依此可得到（1）棱二等分时的所得小正方体表面涂色情况；（2）棱三等分时的所得小正方体表面涂色情况；（3）棱四等分时的所得小正方体表面涂色情况．（4）根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律进而得出答案．

【详解】解：（1）三面被涂色的有8个，故a=8；

（2）三面被涂色的有8个，各面都没有涂色的1个，a+b=8+1=9；

（3）两面被涂成红色有24个，各面都没有涂色的8个，b+c=24+8=32；

（4）由以上可发现规律：能够得到n3个小正方体，两面涂色c=12（n﹣2）个，各面均不涂色（n﹣2）3个，b+c=12（n﹣2）+（n﹣2）3．

故答案为：8，9，32，n3，12（n﹣2）+（n﹣2）3．