人教A版人教A版(2019)数学必修第一册专题：函数性质的综合应用、基本初等函数综合提高学案

专题：函数性质的综合应用、基本初等函数综合提高

函数性质的综合应用

例题1  已知函数为偶函数，其定义域为，求函数的值域。

思路分析：己知函数的奇偶性求函数的其它性质，很显然要确定这个函数的解析式和定义域，然后才能求。

解：因为是整式函数，是偶函数，则；又定义域关于原点对称，所以，所以求得。故原函数为，定义域为，利用图象容易求得的值域为。

总结提升：

在研究函数性质时，如果函数解析式中有参数，一般情况下要先求出参数，再研究函数所要求的性质。

例题2  已知定义域为的函数是奇函数。

（1）求的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

解：（1）因为是奇函数，所以=0，即

又由f（1）= -f（-1）知

（2）由（1）知，易知在上

为减函数。又因是奇函数，从而不等式：  

等价于，因为减函数，由上式推得：

。即对一切有：，

从而判别式。

总结提升：

对于恒成立问题，若能转化为a>f（x）（或a<f（x））恒成立，则a必须大于f（x）的最大值（或小于f（x）的最小值）。因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解。若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解。

单调性、奇偶性、对称性和周期性是函数性质的核心内容。深刻体会单调性与奇偶性的概念，熟练运用单调性和奇偶性定义去证明或判断单调性，注意函数的单调递增区间是D和函数在区间D上递增是不同的概念，其中“单调递增区间是D”反映了函数本身的属性，而“函数在区间D上递增”反映函数的局部性质；函数的奇偶性在定义域上，要对照着二者关系，融合贯通求解问题。

（答题时间：30分钟）

1. 若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是（    ）

A. >      B. < 

C.      D.

2. 奇函数在区间[－3，－1]上单调递减且＞0，那么||在区间[1，3]上（    ）。

A. 单调递减         B. 单调递增      C. 不增也不减       D. 无法判断

3. 已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和为（    ）

A. 4  　　　　   B. 2 　　　　　 C. 1 　　　　　　  D. 0

4. 若函数是偶函数，则的递减区间是         。

5. 已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：

①是奇函数；

②在定义域上单调递减；

③。

求的取值范围 

6. 已知函数。

（Ⅰ）判断的奇偶性；

（Ⅱ）若在是增函数，求实数的取值范围。

1. 答案：C

解析：，

2. 答案：B

解析：因为奇函数，在区间[－3，－1]上单调递减且＞0，

所以在区间[1，3]上单调递减，且＜0，

从而||在区间[1，3]上单调递增，故选B。

3. 答案：D 

解析：∵偶函数的图象关于轴对称，∴与轴的四个交点也关于对称。

4. 答案：

解析：,则的递减区间为。

5. 解：，则,

6. 解：（Ⅰ）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数。

（Ⅱ）设，则

。

要使在是增函数，则必须在上恒成立，

又，所以即要在上恒成立，

因为，所以，故。

所以实数的取值范围是。

基本初等函数综合提高

例题1  计算：（1）2log32－log3＋log38－5；

（2） ×＋80. 25×＋（×）6。

解：（1）原式＝log3－3＝2－3＝－1。

（2）原式＝＋×＋22×33－＝21＋4×27＝110。

总结提升：

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的。对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧。

例题2　若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象的画法正确的是（　　）

A　　　　　 B　　 　　　C　　　　　     D

答案：B

解析：由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3. A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝（－x）3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3（－x），在（－∞，0）上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符。故选B。

总结提升：

1. 识别函数的图象从以下几个方面入手：

（1）单调性：函数图象的变化趋势；

（2）奇偶性：函数图象的对称性；

（3）特殊点对应的函数值。

2. 指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0。

例题3  若0<x<y<1，则（　　）

A. 3y<3x

B. logx3<logy3

C. log4x<log4y

D. <

答案：C

解析：因为0<x<y<1，则

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误。

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈（1，＋∞）上“底小图高”。因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误。

对于C，函数y＝log4x在（0，＋∞）上单调递增，故log4x<log4y，C正确。

对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误。

总结提升：

1. 比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等。

2. 当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。

3. 比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小。

4. 含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论。

例题4  （1）设函数f（x）＝ln（1＋x）－ln（1－x），则f（x）是（　　）

A. 奇函数，且在（0，1）上是增函数

B. 奇函数，且在（0，1）上是减函数

C. 偶函数，且在（0，1）上是增函数

D. 偶函数，且在（0，1）上是减函数

（2）已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f（x）＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1。

①求a的值；

②若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2－loga＋2的值域。

答案：（1）A（2）①3  ②

解析：（1）由题意可得，函数f（x）的定义域为（－1，1），且f（－x）＝ln（1－x）－ln（1＋x）＝－f（x），故f（x）为奇函数。又f（x）＝ln＝ln，易知y＝－1在（0，1）上为增函数，故f（x）在（0，1）上为增函数。

（2）①因为loga3>loga2，所以f（x）＝logax在[a，3a]上为增函数。

又f（x）在[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga（3a）－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.

②函数y＝（log3x）2－log3＋2＝（log3x）2－log3x＋2＝＋。

令t＝log3x，因为1≤x≤3，

所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1。

所以y＝＋∈，

所以所求函数的值域为。

总结提升：

1. 研究函数的性质要树立定义域优先的原则。

2. 换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题。该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题。要注意换元后u的取值范围。

1. 幂、指、对运算的概念和性质；

2. 幂、指、对函数的图象与性质；

3. 归纳出函数的常设考点的解题技巧和方法.

（答题时间：30分钟）

1. 若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是（　　）

A. （0，＋∞）      B. [0，＋∞）

C. （－∞，＋∞）     D. （－∞，0）

2. 函数的图象大致是（    ）

A.    B.

C.     D.

3. 已知，，，则（    ）

A.      B.

C.      D.

4. 已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________。（用“”号连接）

5. （1） ______；（2） _______。

6. 已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为___________。

1. 答案：D

解析：设f（x）＝xα，则2α＝，α＝－2，即f（x）＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是（－∞，0）。故选D。

2. 答案：A

解析：由题意，函数是偶函数，图象关于轴对称，

当时，为单调递减函数，

时，为单调递增函数，

再由函数的图象过点，应选A选项，

故选A。

3. 答案：C

解析：因为，，，

所以，∴，

故选：C。

4. 答案：

解析：函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由图象可知a>1，c>1，0<b<1，

∵时，  ∴；

时，  ∴

∴。

5. 答案：2  10   

解析：（1）根据对数运算法则，可得

（2）根据指数幂的运算和对数运算法则和换底公式，可得

6. 答案：

解析：设，因为的图象过，

，解得，

在上是单调递增的

在上的最大值为，故答案为。