（新高考）2021届高考二轮复习专题五 导数 教师版

这是一份（新高考）2021届高考二轮复习专题五 导数 教师版，共30页。试卷主要包含了导数的几何意义，单调性与导数的关系，利用导数判断函数单调性的步骤，极值的定义，求可导函数极值的步骤，已知函数，等内容，欢迎下载使用。


专题 5
××

导数






命题趋势

本部分主要考查导数的几何意义以及导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值的简单运用多在选择题、填空题当中考查，当导数与函数、不等式、方程、数列等交汇命题是高考的热点和难点．


考点清单

1．导数的几何意义．
函数y=fx在x=x0处的导数f'x0就是曲线y=fx在点x0，fx0处的切线的斜率，即k=f'x0．
（1）曲线y=fx在点x0，y0的切线的方程为y-y0=f'x0x-x0．
（2）过点x0，y0作曲线y=fx的切线，点x0，y0不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是f'x0．
切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，
从而得到切线的方程．
2．单调性与导数的关系．
设函数y=fx在区间a，b内可导．
（1）如果在a，b内，恒有f'x>0，则y=fx在此区间是增函数；
（2）如果在a，b内，恒有f'x<0，则y=fx在此区间是减函数；
（3）如果在a，b内，恒有f'x=0，那么函数y=fx在这个区间内是常函数．
3．利用导数判断函数单调性的步骤．
（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；
（2）求导函数f'x；
（3）解f'x>0（或f'x<0），得到单调递增（减）区间；
（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．
4．极值的定义．
（1）函数y=fx在点x=a的函数值比它在点x=a附近的函数值都小，则把a叫做fx的极小值点，fa叫做fx的极小值．
若y=fx在点x=a处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：f'a=0；
而且在点x=a附近的左侧f'x<0，右侧f'x>0．
（2）函数y=fx在点x=b的函数值比它在点x=b附近的函数值都大，则把b叫做fx的极大值点，fb叫做fx的极大值．
若y=fx在点x=b处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：f'b=0；
而且在点x=b附近的左侧f'x>0，右侧f'x<0．
注意：极值点指x的取值，极值指相应的fx的取值．
5．求可导函数极值的步骤．
（1）求函数的定义域；
（2）求导数，并判断函数的单调性；
（3）画表判断函数的极值．
6．求函数fx在区间a，b上的最值得一般步骤．
（1）求函数y=fx在a，b内的极值；
（2）比较函数y=fx的各极值与端点处的函数值fa，fb的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．



精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．已知函数f(x)=x4+ax2+1的图象在点(-1，f(-1))处的切线与y轴交于点(0，4)，则切点的纵坐标
为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】因为f'(x)=4x3+2ax，所以k=f'(-1)=-4-2a，f(-1)=2+a，
所以切点为-1，(2+a)，
切线方程为y-2+a=-4-2ax+1，
令x=0，则y=-2-a，所以-2-a=4，解得a=-6，
所以切点的纵坐标为-4，故选C．
【点评】本题考查了导数的几何意义，关键点是求出切线方程得到参数a的值，考查了学生的计算能力．
2．已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点是，
由，则以P为切点的切线方程为，
因为该切线过原点，所以，，，
所以，所以且a≠0，故选A．
【点评】本题考了导数的几何意义，属于中档题．
3．若直线l与曲线y=x和圆都相切，则l的方程为（ ）
A．x-22y+2=0 B．x+22y+2=0
C．x-22y-2=0 D．x+22y-2=0
【答案】A
【解析】法一：设曲线y=x的切点P(x0，x0)(x0>0)，
根据导数几何意义可得点P(x0，x0)处的切线斜率，
所以切线方程，即l:x-2x0y+x0=0，
因为切线也与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，解得x0=2或x0=-2（舍去），
所以切线方程为x-22y+2=0，故选A．

法二：画出曲线y=x和圆的图形如下：

结合图形可得要使直线l与曲线y=x和圆都相切，
则直线k>0，横截距a<0，纵截距b>0，B，C，D均不符合，故选A．
【点评】若已知曲线y=f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程的方法：
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y-y0=f'(x0)⋅(x-x0)．
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P'(x1，f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)⋅(x-x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y-fx1=f'x1⋅x-x1，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
4．已知函数，其中f'x为函数fx的导数，则
（ ）
A．0 B．2 C．2020 D．2021
【答案】B
【解析】
，
所以，
，
，
所以，所以f'2021-f'-2021=0，
所以，故选B．
【点评】本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性，解答本题的关键是由解析式求得fx+f-x=2，从而得到，求出，
得到，得到f'2021-f'-2021=0，考查计算能力，属于中档题．

二、填空题．
5．设曲线y=alnx+x2a>0上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=________．
【答案】
【解析】∵y=alnx+x2a>0，x>0，
，当且仅当时等号成立，
∵l的倾斜角的取值范围是，，解得，故答案为．
【点评】本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解．

三、解答题．
6．已知函数，．
（1）当a<0时，讨论f(x)的单调性；
（2）设g(x)=f(x)+xf'(x)，若关于x的不等式在[1，2]上有解，求a的取值范围．
【答案】（1）f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减；（2）(-∞，0]．
【解析】（1）由题意知，，
令F(x)=ax-ex(x-1)，当a<0时，ax-ex<0恒成立，
∴当x>1时，F(x)<0，即f'(x)>0；当00，即f'(x)<0，
∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减．
（2）因为
=-alnx-ex+2ax-a，
由题意知，存在x0∈[1，2]，使得成立，
即存在x0∈[1，2]，使得成立，
令，，
，．
①当a≤1时，对任意x∈[1，2]，都有h'(x)≤0，
∴函数在[1，2]上单调递减，
∴h(x)min=h2=-aln2+a≤0成立，解得a≤0，∴a≤0；
②当10，解得1 ∴函数在[1，a]上单调递增，在[a，2]上单调递减，
又，∴h(2)=-aln2+a≤0，解得a≤0，∴a无解；
③当a≥2时，对任意的x∈[1，2]，都有h'(x)≥0，
∴函数在[1，2]上单调递增，，不符合题意，舍去，
综上所述，a的取值范围为(-∞，0]．
【点评】根据导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．
7．已知实数a≠0，fx=alnx+x．
（1）讨论fx的单调性；
（2）证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数fx=alnx+x的定义域为0，+∞，．
当a>0时，对任意的x>0，f'x>0，故fx在0，+∞上单调递增；
若a<0，当x∈0，-a时，f'x<0，fx单调递减；
当x∈-a，+∞时，f'x>0，fx单调递增．
综上所述，当a>0时，fx在0，+∞上单调递增；
当a<0，fx在0，-a上单调递减，在-a，+∞上单调递增．
（2）证明：由题意，该不等式等价于e2⋅xex≥lnx+x+3，即xex+2≥lnx+x+3，
又可化为，即，
令，则，
所以，函数gx在0，+∞上单调递增，
当x→0时，t→-∞；当x→+∞时，t→+∞，所以，，
故所证不等式等价为证明不等式et≥t+1，
构造函数ht=et-t-1，则h't=et-1．
当t∈-∞，0时，h't<0，函数ht单调递减；
当t∈0，+∞时，h't>0，函数ht单调递增，
所以，，故原不等式得证．
【点评】利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式fx>gx（或fx0（或fx-gx<0），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
8．已知函数，．
（1）求f(x)的单调性；
（2）若对于任意，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）a≤1．
【解析】（1）f'(x)=x-sinx，
令t(x)=x-sinx，∴t'(x)=1-cosx≥0，∴t(x)在R上单调递增．
当x∈(-∞，0)时，f'(x) 当时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增．
（2）令，
则，
F'(x)=ex-sinx-a，
令h(x)=ex-sinx-a，∴h'(x)=ex-cosx≥0，
∴在[0，+∞)上递增，∴h(x)≥h(0)=1-a，
当a≤1时，h(x)≥1-a≥0，∴F'(x)≥0，F(x)单调递增，
∴F(x)≥F(0)=0，满足题意；
当a>1时，h(0)=1-a<0，h(ln(1+a))=1-sinln1+a≥0，
∴∃x0∈(0，ln(a+1))，h(x0)=0，
∴当x∈(0，x0)时，h(x) 又F(0)=0，此时F(x) 综上可得a≤1．
【点评】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值，由最值满足的不等关系得出结论．
9．设函数fx=x2+a-2x-alnx (a∈R)．
（1）若，求fx的极值；
（2）讨论函数fx的单调性；
（3）若n∈N*，证明：．
【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）见解析；（3）证明见解析．
【解析】（1）fx的定义域为0，+∞，
当时，，
若f'x>0，则x>1；若f'x<0，则0 ∴fx在上单调递减，在上单调递增，∴fx极小值=f1=0，没有极大值．
（2），
①当a≥0时，若f'x>0，则x>1；若f'x<0，则0 ∴fx在上单调递减，在上单调递增；
②当，即-20，则或x>1；
若f'x<0，则，
∴fx在上单调递减，在，1，+∞上单调递增；
③当，即a=-2时，f'x≥0恒成立，∴fx在0，+∞上单调递增；
④当，即a<-2时，若f'x>0，则0 若f'x<0，则，
∴fx在上单调递减，在上单调递增，
综上所述：①当a<-2时，fx在上单调递减，在上单调递增；
②当a=-2时，fx在0，+∞上单调递增；
③当-2 ④当a≥0时，fx在上单调递减，在1，+∞上单调递增．
（3）由（1）知fx=x2-x-lnx在上为减函数，
∴x∈0，1时，x2-x-lnx>f1=0，∴x2-x>lnx，
令，得，
，即，
，…，，
将以上各式左右两边相加得：
，
．
【点评】本题第三问关键是联系到fx=x2-x-lnx在上为减函数，
再从不等式的结构和对数的运算，想到构造求解．

高频易错题

一、选择题．
1．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，
排除选项A、B，
当时，先正后负，所以在先增后减，
因选项C是先减后增再减，故排除选项C，
故选D．
【点评】本题主要考了的利用导数研究函数单调性，但注意题目给的图象是原函数图象还是导函数图象，
属于基础题．

二、解答题．
2．己知函数．
（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；
（2）当时，证明：有一个极大值点和一个极小值点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由，得，
设，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，
因为在R上是减函数，所以，所以，
故m的取值范围是．
（2）当时，．
由于，，所以在上有零点，
又在上单调递增，
所以在上只有一个零点，设为，
又，
设，则，即在上单调递减，
所以，即，所以，
所以在上有零点，
又在上单调递减，
所以在上只有一个零点，设为．
因此，当时，，
当时，；当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的极小值是，
当时，的极大值是，
因此，有一个极大值点和一个极小值点．
【点评】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数的单调性、极值的方法，并灵活应用，若已知函数单调递减，则；若已知函数单调递增，则，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．
3．已知函数（）．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若恰有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析；（3）．
【解析】（1）当时，，，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为，
所以．
①当时，与在上的变化情况如下：










最大值

所以在内单调递增，在内单调递减；
②当时，与在上的变化情况如下：














极大值

极小值

所以在，内单调递增，在内单调递减；
③当时，，所以在上单调递增；
④当时，与在上的变化情况如下：














极大值

极小值

所以在，内单调递增，在内单调递减．
（3）由（2）可知：
①当时，在内单调递增，在内单调递减，
当时，取得最大值．
（i）当时，，
所以在上至多有一个零点，不符合题意；
（ii）当时，．
因为，，在内单调递减，
所以在内有唯一零点．
因为，所以且．
因为，，
且在内单调递增，所以在内有唯一零点，
所以当时，恰有两个零点．
②当时，在，内单调递增，在内单调递减，
因为当时，取得极大值，
所以在上至多有一个零点，不符合题意；
③当时，在上单调递增，
所以在上至多有一个零点，不符合题意；
④当时，在，内单调递增，在内单调递减．
因为当时，取得极大值，
所以在上至多有一个零点，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是．
【点评】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

精准预测题

一、选择题．
1．（多选）下列曲线中，与直线相切的是（ ）
A．曲线 B．曲线
C．曲线 D．曲线
【答案】ABD
【解析】对A，将直线代入曲线可得，
则，则直线与曲线相切，故A正确；
对B，直线的斜率为2，对，可得，
令，解得，代入直线可得切点为，满足在上，故直线与曲线相切，
故B正确；
对C，的一条渐近线为，和直线平行，
故直线与曲线相交于一点，故不相切，故C错误；
对D，又可得，令，解得或1．
当时，代入直线可得切点，不满足在曲线上；
当时，代入直线可得切点为，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故D正确，
故选ABD．
【点评】本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法为，若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线方程，利用判别式判断；若曲线是函数曲线，则可通过求导进行判断．
2．（多选）已知函数f(x)=x2+sinx，则下列说法正确的是（ ）
A．fx有且只有一个极值点 B．设g(x)=f(x)⋅f(-x)，则gx与fx的单调性相同
C．fx有且只有两个零点 D．fx在上单调递增
【答案】ACD
【解析】由题知，f'(x)=2x+cosx，f″(x)=2-sinx>0，
所以f'(x)=2x+cosx在R上单调递增，
当x=0时，f'(x)=1>0；当时，，
所以存在，使得f'x0=0，
所以函数f(x)=x2+sinx在(-∞，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，
所以fx有且只有一个极值点，故A正确；
因为f(-x)=x2-sinx，所以g(x)=f(x)⋅f(-x)=x4-sin2x，
所以g'(x)=4x3-2sinxcosx=4x3-sin2x，
所以，故gx的一个极值点为0，
所以gx与fx的单调性不相同，故B错误；
因为fx有且只有一个极值点x0，，且f0=0，
所以fx在(-∞，x0)和(x0，+∞)上各有一个零点，所以fx有且只有两个零点，故C正确；
因为y=x2与y=sinx在上都是单调递增，所以f(x)=x2+sinx在上单调递增，D正确，
故选ACD．
【点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．

二、填空题．
3．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若函数有极值点，则角B的范围是________．
【答案】
【解析】因为函数，
所以导函数f'(x)=x2+2bx+a2+c2-ac，
因为函数f(x)有极值点，所以Δ=4b2-4a2+c2-ac>0，即a2+c2-b2 则，
因为0 【点评】本题考查导函数与余弦定理的综合应用，能否根据函数有极值得出a2+c2-b2
三、解答题．
4．已知函数f(x)=x3+bx2-x，(b∈R)．
（1）讨论函数f(x)单调性；
（2）是f(x)的导数，g(x)=f(x)-f'(x)，求证：函数g(x)存在三个零点．
【答案】（1）f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上是递增，在(x1，x2)上是递减；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为f'(x)=3x2+2bx-1，
由f'(x)=0，得，，
的取值正负和函数f(x)单调性随x的变化情况如下表：
x
(-∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，+∞)

+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上是递增的，在(x1，x2)上是递减的．
（2）证明：由（1）知f(x)在(x1，x2)上单调递减，且，，
所以且f'(x2)=f'(x2)=0，
因为gx=fx-f'x=x3+b-3x2-1+2bx+1．
所以g'x=3x2+2b-3x-1+2b，
，
设g'(x)=0，得，，
则x1 g'(x)的取值正负和函数g(x)单调性随x的变化情况如下表：
x

x3
(x3，x4)
x4
(x4，+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以g(x)在与(x4，+∞)上是单调递增的，在(x3，x4)上是单调递减的．
又因为g(x1)=f(x1)-f'(x1)=f(x1)>0，g(x2)=f(x2)-f'(x2)=f(x2)<0，
且，，
又x→-∞时，gx→-∞；x→+∞时，g(x)→+∞，
所以g(x)在，，上各有一个零点，且g(x)最多三个零点，
故函数g(x)恰有三个零点．
【点评】利用导数列表求出g(x)的单调性及极值，分析函数图象的变化趋势，利用g(x3)与g(x4)的正负，
由零点存在性定理可判断零点个数．
5．已知函数，a∈R．
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1），a∈R．
∴f'x=x-1ex-ax+a=x-1ex-a．
①当a≤0时，令f'x<0，得x<1，∴fx在-∞，1上单调递减；
令f'x>0，得x>1，∴fx在1，+∞上单调递增．
②当0 令f'x>0，得x1，∴fx在-∞，lna和1，+∞上单调递增．
③当a=e时，f'x≥0在x∈R时恒成立，∴fx在R单调递增．
④当a>e时，令f'x<0，得1 令f'x>0，得或x<1，∴fx在-∞，1和lna，+∞上单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在-∞，1上单调递减，在1，+∞上单调递增；
当0 当a=e时，fx在R上单调递增；
当a>e时，fx在1，lna上单调递减，在-∞，1和lna，+∞上单调递增．
（2）不等式，等价于2x-1ex>ax-1．
①当x=1时，0 ②当x∈1，+∞时，．
设函数，则．
当时，g'x<0，此时gx单调递减；
当时，g'x>0，此时gx单调递增，
∴，∴；
③当x∈-∞，1时，，
设函数，则．
当x∈0，1时，h'x<0，此时hx单调递减；
当x∈-∞，0时，h'x>0，此时hx单调递增，
∴hxmax=h0=1，∴a>1，
综上，a的取值范围为．
【点评】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
6．已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1），，使得不等式fx1≤m+gx2成立，试求实数m的取值范围；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），使得不等式fx1≤m+gx2成立，
即，
，
，
当时，f'(x)>0，故f(x)在上单调递增，
所以当x=0时，，
又，，，
当时，g″(x)<0，g'(x)在上单调递减，
，故g(x)在上单调递减，
因此，当x=0时，，，即，
∴实数m的取值范围是．
（2）证明：当时，要证，只需证，
即证，
由于，，∴只需证，
令，则，
当x∈(-1，0)时，h'(x)<0，单调递减；
当时，h'(x)>0，单调递增，
∴当且仅当x=0时，取得最小值，且最小值为，
令，则kcosx+2k=sinx，
即sinx-kcosx=2k，即，
由三角函数的有界性，得，即，，
又当x=0时，k=0<1=h(0)；
当x≠0时，，
，即，
综上所述：当时，成立．
【点评】本题解题的关键是利用等价转换的思想去思考问题，将复杂问题简单化．
7．已知函数fx=msin1-x+lnx．
（1）当m=1时，求函数fx在0，1的单调性；
（2）当m=0且时，，求函数gx在0，ⅇ上的最小值；
（3）当m=0时，有两个零点x1，x2，且x11．
【答案】（1）在0，1上单调递增；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）当m=1时，fx=sin1-x+lnx，则，
当x∈0，1，f'x在0，1上单调递减，∴，
∴当m=1时，fx在0，1上单调递增．
（2）当m=0时，（，），
则，
当a≥0时，g'x<0，此时函数gx在区间0，ⅇ上单调递减，
∴函数gx在x=e处取得最小值，即；
当a<0时，令，
当时，即当时，g'x<0，
此时函数gx在区间0，ⅇ上单调递减，函数gx在x=e处取得最小值，
即，
综上所得．
（3）当m=0时，，
∵x1，x2是函数的两个零点，
∴，，
两式相减，可得，即，
∴，∴，．
令，则，
记，则．
∵，∴恒成立，∴，
即，∴，
故．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和不等式的证明，考查了转化思想和函数思想，属难