（新高考）2021届高考二轮复习专题七 数列 教师版

本部分高考的热点主要为等差、等比数列的基本量和性质的考查和数列求和及数列的综合问题．基本量和性质的考查常以小题的形式出现，数列求和及数列综合问题常以解答题的形式出现是高考的重点．

1．相关公式

等差数列的通项公式：

等差中项：，若，则

等差数列的求和公式：，

等比数列的通项公式：

等比中项：，若，则

等比数列的求和公式：

前项和与第项的关系：

2．判断等差数列的方法

（1）定义法

（常数）是等差数列；

（2）通项公式法

（为常数，）是等差数列；

（3）中项公式法

是等差数列；

（4）前项和公式法

（为常数，）是等差数列．

3．判断等比数列的常用方法

（1）定义法

（是不为0的常数，）是等比数列；

（2）通项公式法

（均是不为0的常数，）是等比数列；

（3）中项公式法

是等比数列．

一、选择题．

1．设是数列的前项和，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在数列中，，，

则，，，

以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，

，

因此，，故选B．

【点评】根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：

（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；

（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列．

2．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值

是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，

因为，，依次成等比数列，，

所以有，即，整理得，

因为，所以，，

因此，故选A．

【点评】本题主要考了等查数列的通项公式，可以利用基本量法进行求解，属于基础题．

3．等比数列中，，，则的前8项和为（    ）

A．90 B． C． D．72

【答案】A

【解析】是等比数列，也成等比数列，

，，，

前8项和为，故选A．

【点评】本题主要考了等比数列的性质以及等比数列的通项公式，属于基础题．

4．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，

所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，

若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，

即正项数列是公比为的等比数列，

因为，因此，，故选D．

【点评】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为的等比数列，解题要将这种定义应用到数列中，推导出数列为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解．

5．等差数列中，已知，，求（    ）

A．11 B．22 C．33 D．44

【答案】B

【解析】∵等差数列中，，

∴，，

∴，，∴，故选B．

【点评】本题的考点为等差中项，及等差数列的通项公式，属于基础题．

6．两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设两个等差数列分别为，，它们的前项和分别为，，

则，，故选B．

【点评】本题考查等差数列的性质，若等差数列含有奇数项，则其前项和等于项数乘以中间项，是基础题．

7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设等差数列的前项和为，则，

所以是等差数列．

因为，所以的公差为，

又，所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以，所以，故选C．

【点评】本题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题．

8．等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为（    ）

A．4或5 B．3或4 C．4 D．3

【答案】C

【解析】设公差为，由题意知，解得，

由等差数列前项和公式，知，

对称轴为，所以当时，最大，故选C．

【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算及前项和的最值问题，属于基础题．

9．已知数列的前n项和，则“”是“数列是等比数列”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当时，，，不是等比数列；

若数列是等比数列，当时，，

所以，与数列是等比数列矛盾，所以，，

所以，，所以，

因此“”是“数列是等比数列”的必要不充分条件，故选B．

【点评】（1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．

（2）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断．

二、填空题．

10．等差数列中，，，则_______．

【答案】135

【解析】由已知得，所以，所以公差，

所以，故答案为135．

【点评】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题．

11．设数列中，若等比数列满足，且，则______．

【答案】2

【解析】根据题意，数列满足，即，

则有，

而数列为等比数列，则，

则，

又由，则，故答案为2．

【点评】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题．

三、解答题．

12．设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，且满足．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设数列的公差为d，且，

又，

则，所以，

则；

由可得，

两式相减得，，

又，所以，

故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．

（2）设，记的前n项和为．

则，，

两式相减得：，

，所以．

【点评】数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．

13．已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，；

当时，由，①

得，②

①②，得，，也符合，

因此，数列的通项公式为．

（2）由题意，设等差数列的公差为，

则，

，解得，，

由（1）知，，

故

．

【点评】数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．

一、解答题．

1．已知数列满足：．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为数列满足：，

所以，当时，，

当时，，

相减可得，所以，

综上可得，．

（2）因为

，

所以．

【点评】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：

（1）利用数列项与和的关系，求得通项，注意需要对首项验证；

（2）将化简，利用裂项相消法求和即可．

一、选择题．

1．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【解析】等差数列中，，

故原式等价于，解得或，

各项不为0的等差数列，故得到，

数列是等比数列，故=16，故选D．

【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质．

2．设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为（    ）

A．28 B．36 C．42 D．46

【答案】B

【解析】成等差数列，，

设的公差为，则，解得，

，，

，，

，故选B．

【点评】本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式，考查学生的运算求解能力，求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式，并灵活运用，属于基础题．

3．设等差数列的前n项和为，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意，，

又，∴，故选D．

【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．

4．若等差数列的公差为d，前n项和为，记，则（    ）

A．数列是等差数列，的公差也为d

B．数列是等差数列，的公差为2d

C．数列是等差数列，的公差为d

D．数列是等差数列，的公差为

【答案】D

【解析】由题可得，，

则是关于n的一次函数，

则数列是公差为的等差数列，故A，B错误；

由是关于n的一次函数，得数列是公差为的等差数列，故C错误；

又是关于n的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D正确，

故选D．

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等差数列是关于的一次函数，公差为，熟练掌握等差数列通项公式的函数性质是解题的关键，属于基础题．

5．等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为（    ）

A．65 B．75 C．90 D．110

【答案】A

【解析】∵的首项，前项和为，，

，解得

，

故数列的前项和为，故选A．

【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

6．（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．与均为的最大值

【答案】BD

【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：

是等差数列，若，则，故B正确；

又由得，则有，故A错误；

而C选项，，即，可得，

又由且，则，必有，显然C选项是错误的；

∵，，∴与均为的最大值，故D正确，

故选BD．

【点评】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题．

二、填空题．

7．数列中，，若，则_________．

【答案】3

【解析】因为，所以，所以，

是等比数列，公比为2，所以．

因为，

所以，故答案为3．

【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用，属于基础题．

8．在等差数列中，若，，则_____；使得数列前n项的和取到最大值的_____．

【答案】9，5

【解析】设等差数列的公差为d，

∵，，∴，，

解得，．

∴．

令，解得．

∴使得数列前n项的和取到最大值的．

故答案为9，5．

【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题．

三、解答题．

9．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．

由题意得，所以，所以；

∴，，

∴，∴．

（2）由（1）知，

∴

．

【点评】数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．

10．已知是等差数列，其前项和为．若，，成等比数列，．

（1）求的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，

因为，，成等比数列，所以，

即，①

因为，所以，即，②

由①②得，或，．

当，时，，与，，成等比数列矛盾，

所以，，所以．

（2）由（1）得，

所以

．

【点评】数列求和的常用方法：

（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．

（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求．

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项．常见的裂项有，，等．

（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．

（5）倒序相加法．