（新高考）2021届高考二轮复习专题六 三角函数与解三角形 学生版

这是一份（新高考）2021届高考二轮复习专题六 三角函数与解三角形 学生版，共37页。试卷主要包含了函数y=Asin的图象及变换，函数y=Asin的性质，已知m=，n=，函数f=m⋅n，已知函数等内容，欢迎下载使用。

专题 6
××

三角函数与解三角形






命题趋势

1．高考对三角函数的考查主要在于三角函数的定义、图象和性质、三角恒等变换，主要考查三角函数图象的变换、三角函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值），三角恒等变换通常还与解三角交汇命题．
2．解三角形的考查主要在具体面积、角的大小、面积与周长的最值或范围的考查，本部分要求对三角恒等变换公式熟悉．


考点清单

一、三角函数
1．公式
（1）扇形的弧长和面积公式
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是．
相关公式：①l=αr
②
（2）诱导公式：

正弦
余弦
正切
α+k⋅2π
sinα
cosα
tanα
α+π
-sinα
-cosα
tanα
-α
-sinα
cosα
-tanα
π-α
sinα
-cosα
-tanα

cosα
-sinα


cosα
sinα


-cosα
sinα


-cosα
-sinα

（3）同角三角函数关系式：
sin2α+cos2α=1，
（4）两角和与差的三角函数：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ


（5）二倍角公式：



（6）降幂公式：
，
2．三角函数性质
性质
y=sinx，x∈R
y=cosx，x∈R
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在区间上是增函数，
在区间上是减函数
在区间[-π+2kπ，2kπ](k∈Z)上是增函数，
在区间[2kπ，π+2kπ](k∈Z)上是减函数
最值
在时，ymax；
在时，ymin
在x=2kπ(k∈Z)时，ymax；
在x=2kπ+π(k∈Z)时，ymin
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)

对称轴

x=kπ(k∈Z)
正切函数的性质
图象特点
定义域为
图象与直线没有交点
值域为R
图象向上、向下无限延伸
最小正周期为π
在区间上图象完全一样
在内是增函数
图象在内是上升的
对称中心为
图象关于点成中心对称
3．函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响

（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

（3）A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响

4．函数y=Asin(ωx+φ)的性质
（1）函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)中参数的物理意义

（2）函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的有关性质


二、解三角形
1．正余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容

(为外接圆半径)
；
；

变形形式
，，
；
，，
；
；

；
；

2．利用正弦、余弦定理解三角形
（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解．
（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．
在中，已知，和角时，解得情况如下：

为锐角
为钝角或直角
直角图形




关系式




解的个数
一解
两解
一解
一解
上表中为锐角时，，无解．
为钝角或直角时，，均无解．
（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．
（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．
3．三角形中常用的面积公式
（1）(表示边上的高）；
（2）；
（3）（为三角形的内切圆半径）．
4．解三角形应用题的一般步骤





精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O交于点Px0，y0，
若，则x0=（ ）
A． B． C． D．
2．已知 tan 2θ-4tanθ+1=0，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数fx=2sinωx+φ，的部分图象如图所示，fx的图象过，两点，将fx的图象向左平移个单位得到gx的图象，则函数gx在上的最小值
为（ ）

A．-2 B．2 C．-3 D．-1
4．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则ΔABC的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
5．（多选）已知函数f(x)=3sinx+sin3x，则（ ）
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数且最小正周期为2π
C．f(x)的值域是[-4，4] D．当x∈(0，π)时，f(x)>0

二、解答题．
6．已知m=(2sinx，sinx-cosx)，n=(3cosx，sinx+cosx)，函数f(x)=m⋅n．求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合．











7．已知函数．
（1）求函数f(x)在区间0，π上的值域；
（2）若方程f(ωx)=3(ω>0)在区间0，π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．













8．已知函数f(x)=3sinxcosx+cos 2x+1．
（1）求f(x)的最小正周期和值域；
（2）若对任意x∈R，的恒成立，求实数k的取值范围．













9．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且3(sinB+sinC)2-3sin 2(B+C)=8sinBsinC．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为，求a+b+c的最小值．












10．设函数f(x)=12cos 2x-43sinxcosx-5．
（1）求f(x)的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，角A､B､C的对边长分别为a､b､c．若f(A)=-5，a=3，求△ABC周长的取值范围．













11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinA-sinB=b+csinC．
（1）求角A的大小；
（2）若点D是BC的中点，且AD=2，求△ABC的面积的最大值．











12．如图，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC的角平分线交BC于点D．
（1）求的值；
（2）若AC=1，BD=2，求AD的长．









13．在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(a+b+c)(a+b-c)=3ab．
（1）求角C的值；
（2）若c=2，且ΔABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．












高频易错题

一、选择题．
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA-c0，函数，当时，-5≤fx≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）设且lggx>0，求gx的单调区间．















精准预测题

一、选择题．
1．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形，则SABCD的最大值是（ ）

A． B． C． D．
2．已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，则gx的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）

A．ω=2 B．是函数，fx的一个对称中心
C． D．函数fx在区间上是减函数
二、解答题．
4．已知函数f(x)=cos(ωx)(ω>0)的最小正周期为π．
（1）求ω的值及函数的值域；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，，△ABC的面积为33，b-c=2，求a的值．












5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+B-C=csinB+C．
（1）求角C的大小；
（2）若2a+b=8，且△ABC的面积为23，求△ABC的周长．










6．如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观．在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方．经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，．记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米．
（1）分别求线段PM、PN关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
（2）求S的最小值．








7．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若23cos 2A+cos2A=0，且△ABC为锐角三角形，a=7，c=6，求b的值；
（2）若a=3，，求b+c的取值范围．






参考答案

经典训练题

一、选择题．
1．【答案】C
【解析】∵，∴，
又，所以，所以，
∴
，
故选C．
【点评】本题容易忽视的范围，而导致出错．
2．【答案】C
【解析】由 tan 2θ-4tanθ+1=0，可得，
所以，即，即，
，故选C．
【点评】本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由
可解，属于中档题．
3．【答案】A
【解析】由图象知，，∴T=2π，则，
∴fx=2sinx+φ，
将点的坐标代入得，，即，
又，∴，
则，
将fx的图象向左平移个单位得到函数，
∴gx在上的最小值为，故选A．
【点评】本题主要考了三角函数图象，以及三角函数的性质和三角函数图象的变换，属于中档题．
4．【答案】A
【解析】因为在三角形中，变形为sinCbcosA，∴sinC>sinBcosA，
即sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA>sinBcosA，∴sinAcosB>0，
因为sinA>0，∴cosB>0，所以B为锐角．
当B为锐角时，△ABC不一定为锐角三角形；
当△ABC为锐角三角形时，B一定为锐角，
所以“bcosA-c0，可得gx>1，
所以，即，
所以，
当时，解得，
此时函数gx单调递增，即gx的递增区间为；
当时，解得，
此时函数gx单调递减，即gx的递减区间为．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力．

精准预测题

一、选择题．
1．【答案】A
【解析】如图，记∠COP=α，
在Rt△OPC中，，，
在Rt△OAD中，，
所以，
设矩形ABCD的面积为S，
，
由，所以当，即时，S取最大值，为，
故选A．

【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行求解．
2．【答案】C
【解析】将的图象向左平移个单位得，
再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到，故选C．
【点评】在三角函数平移变换中，y=sinωx向左平移个单位得到的函数解析式为y=sinωx+φ=sinωx+ωφ，而不是y=sinωx+，考查运算求解能力，是基础题．
3．【答案】ACD
【解析】由题知，A=2，函数fx的最小正周期，所以，故A正确；
因为，
所以，，解得，，
又|φ|0，所以ω=2．
此时f(x)=cos2x，则得，
即g(x)=3sin2x-cos2x，即，
当时，，，
所以所求函数的值域为[-1，2]．
（2）由题意得，
因为，则得2A∈(0，π)，所以，解得，
因为△ABC的面积为33，则得，即，
即bc=12．
又因为b-c=2，
由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b-c)2+bc=22+12=4，
所以a=4．
【点评】本题考查求三角函数的值域，考查余弦定理解三角形，以及三角形面积公式．三角函数问题中，首先需利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式（主要是f(x)=Asin(ωx+)+k形式），然后利用正弦函数性质确定求解．
5．【答案】（1）；（2）6+23．
【解析】（1）∵asin(A+B-C)=csin(B+C)，∴sinAsin(-2C)=sinCsinA，
∴2sinAsinCcosC=sinCsinA，
∵sinAsinC≠0，，，．
（2）由题意可得，∴ab=8，
∵2a+b=8联立可得，a=2，b=4，
由余弦定理可得，c2=12，c=23，此时周长为6+23．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．
6．【答案】（1），，；（2）8(2-1)平方米．
【解析】（1）在△PME中，∠EPM=θ，米，
，，
由正弦定理得，
所以；
同理在中，由正弦定理得，
所以，
当M与E重合时，θ=0；
当N与D重合时，tan∠APD=3，即∠APD=arctan3，
，所以．
（2）△PMN的面积
，
因为，所以当，
即时，S取得最小值为，
所以可视区域△PMN面积的最小值为8(2-1)平方米．
【点评】本题考查解三角形的应用．掌握三角函数的性质是解题关键．解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值．
7．【答案】（1）；（2）b+c∈(3，23]．
【解析】（1），∴，
又∵A为锐角，，
而a2=b2+c2-2bccosA，即，
解得b=5或（舍去），∴b=5．
（2）由正弦定理可得，
，，，
∴b+c∈(3，23]．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．