2018-2019学年天津南开区九年级（上）期中数学模拟试卷（含答案）

这是一份2018-2019学年天津南开区九年级（上）期中数学模拟试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了方程x2﹣4x﹣12=0的解为等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．方程x2﹣4x﹣12=0的解为（　　）
A．x1=2，x2=6 B．x1=2，x2=﹣6
C．x1=﹣2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6
2．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　）

A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣120°） C．Q（3，600°） D．Q（3，﹣500°）
3．用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（　　）
A．（x﹣）2= B．（x+）2=
C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
4．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1：
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（　　）

A．68° B．20° C．28° D．22°
6．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（　　）

A．110° B．70° C．55° D．35°
9．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是（　　）

A． B．5 C． D．3
11．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒B点P位于点C的位置，……，则第2017秒点P所在位置的坐标为（　　）

A．（，） B．（） C．（0，﹣1） D．（）
12．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线x=2；
②当y≤0时，x＜0或x＞4；
③函数解析式为y=﹣x2+4x；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
　
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．直线与圆在同一平面上做相对运动时，其位置关系有　 　种，它们分别是　 　．
14．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是　 　．
15．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为　 　．[来源:学,科,网Z,X,X,K]

16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽　 　m．

17．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则弦MN的长为　 　．

18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于　 　．

　
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
20．（8分）已知一次函数y1=6x，二次函数y2=3x2+3，是否存在二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1，y2，y3都有y1≤y2≤y3成立？若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．
21．（10分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．
如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．

22．（10分）如图，点A、B、C均在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠ACB=45°，∠AOC=150°．
（1）求证：CD=CB；
（2）⊙O的半径为，求AC的长．

23．（10分）某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．
（1）饲养场的长为　 　米（用含a的代数式表示）．
（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．
（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？

24．（10分）如图1，以▱ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G．
（1）猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；
（2）延长DE、BA交于点H，其他条件不变：
①如图2，若∠ADC=60°，求的值；
②如图3，若∠ADC=α（0°＜α＜90°），直接写出的值（用含α的三角函数表示）

25．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；[来源:学科网]
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【解答】解：x2﹣4x﹣12=0，
分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，
可得x+2=0或x﹣6=0，
解得：x1=﹣2，x2=6，
故选：C．
2．【解答】解：∵P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，﹣120°），（3，600°），
故选：D．
3．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
故选：D．
4．【解答】解：①∵a=﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABC=∠D′=90°，[来源:学科网]
∴∠3=180°﹣∠2=68°，
∴∠BAB′=90°﹣68°=22°，
即∠α=22°．
故选：D．

6．【解答】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
⑤圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选：D．
7．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：B．
8．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠BCE=70°，
故选：B．
9．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB=1﹣（﹣3）=4，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴ab＞0，所以③错误；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＞0，
∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．
故选：C．
10．【解答】解：如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′==5，
∴MN最大=．
故选：A．
11．【解答】解：2017÷8=252…1，
即第2017秒点P所在位置如图：
过P作PM⊥x轴于M，
则∠PMO=90°，
∵OP=1，∠POM=45°，
∴PM=OM=1×sin45°=，
即此时P点的坐标是（，），
故选：A．
12．【解答】解：由图象得抛物线的对称轴为直线x=2，所以①正确；
当y≤0时，x≤0或y≥4，所以②错误；
抛物线经过点（0，0），（4，0），（2，4），
所以抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
把（2，4）代入得a•2（2﹣4）=4，解得a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），即y=﹣x2+4x，所以③正确；
当x≤0时，y随x的增大而增大，所以④正确．
故选：D．
　
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．【解答】解：如图所示：

当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，如直线a；
当直线与圆有一个公共点A时，直线与圆相切，如直线b；
当直线与圆有2个公共点B、C时，直线与圆相交，如直线c．
故答案为：3，相离，相切，相交．
14．【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（1，﹣2）关于原点过对称的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
15．【解答】解：过B1作B1C⊥y轴于C，
∵把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O，
∴∠BOB1=120°，OB1=OB=，
∵∠BOC=90°，
∴∠COB1=30°，
∴B1C=OB1=，OC=，
∴B1（﹣，）．
故答案为：（﹣，）．

16．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2=﹣0.5x2+2，
解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，
故答案为：4．

17．【解答】解：分别过点M、N作x轴的垂线，过点A作AB⊥MN，连接AN
设⊙A的半径为r．
则AN=OA=r，AB=2，
∵AB⊥MN，
∴BM=BN，
∴BN=4﹣r；
则在Rt△ABN中，根据勾股定理，
得AB2+BN2=AN2，即：22+（4﹣r）2=r2，解得r=2.5，
则N到y轴的距离为1，
又∵点N在第三象限，
∴N的坐标为（﹣1，﹣2）；
∴MN=3；
故答案为：3．

18．【解答】解：两扇形的面积和为： =2π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，
∴空白区域的面积为：×2×2=2，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和=2π﹣4．
故答案为：2π﹣4．

　
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞﹣3且k≠1．
20．【解答】解：不存在这样的实数．
设该实数是a．
则y1≤y2，即6a≤3a2+3，
解得（a﹣1）2≥0，
∴a是任意实数，且当a=1时取“=”；
当a=1时，y=6，即点（1，6）满足y1≤y2≤y3，
将点（1，6）代入二次函数y3=x2+bx+c，得
6=1+b+c，①
又∵二次函数y3=x2+bx+c，其图象经过点（﹣4，1），
∴1=16﹣4b+c，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函数y3的解析式为：y=x2+4x+1；
∴3a2+3≤a2+4a+1，
解得，（a﹣1）2≤0，
显而易见，这是错误的，所以点a不适合．
所以，不存在这样的任意实数a，使y1≤y2≤y3成立．
21．【解答】解：如图所示，

△ABC为所求作
22．【解答】证明：延长AO交⊙O于E点，连接CE

∵AE是直径
∴∠ACE=90°
∵∠ACB=45°
∴∠BCE=135°
∵AO=OC=EO，∠AOC=150°
∴∠OAC=∠OCA=15°，∠OEC=∠OCE=75°
∵四边形ABCE是圆内接四边形[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴∠EAB+∠ECB=180°，∠E+∠ABC=180°
∴∠EAB=45°，∠ABC=105°，
∴∠CAD=30°，∠CBD=75°
∵CD是⊙O切线，
∴∠OCD=90°
∵∠OCA=15°，∠ACB=45°
∴∠CBD=30°
∵∠D+∠CBD+∠BCD=180°
∴∠D=75°
∴∠D=∠CBD
∴CD=CB[来源:Z#xx#k.Com]
（2）连接OB，过点B作BF⊥AC于点F，

∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠AOB=90°
∴AB==2
∵∠CAD=30°，BF⊥AC
∴BF=1，AF=BF=
∵∠ACB=45°，BF⊥AC
∴∠ACB=∠CBF=45°
∴CF=BF=1
∴AC=+1
23．【解答】解：（1）由已知饲养场的长为57﹣2a﹣（a﹣1）+2=60﹣3a；
故答案为：60﹣3a；
（2）由（1）饲养场面积为a（60﹣3a）=288，
解得a=12或a=8；
当a=8时，60﹣3a=60﹣24=36＞27，
故a=8舍去，
则a=12；
（3）设饲养场面积为y，
则y=a（60﹣3a）=﹣3a2+60a=﹣3（a﹣10）2+300，
∵2＜60﹣3a≤27，
∴11≤a＜，
∴当a=11时，y最大=297．
24．【解答】解：（1）BG=EG，理由是：
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形CFED是菱形，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴∠A=∠GFE，
∵∠AGB=∠FGE，
∴△BAG≌△EFG，
∴BG=EG；
（2）①如图2，设AG=a，CD=b，则DF=AB=b，
由（1）知：△BAG≌△EFG，
∴FG=AG=a，
∵CD∥BH，
∴∠HAD=∠ADC=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠AHD=∠HAD=∠ADE=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD=AH=2a+b，
∴==；
②如图3，连接EC交DF于O，
∵四边形CFED是菱形，
∴EC⊥AD，FD=2FO，
设AG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，
Rt△EFO中，cosα=，
∴OF=bcosα，
∴DG=a+2bcosα，
过H作HM⊥AD于M，
∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，
∴AH=HD，
∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，
Rt△AHM中，cosα=，
∴AH=，
∴==cosα．

25．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），
∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=x﹣1，
∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），
∴n=×4﹣1=2，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；

（2）令y=0，则x﹣1=0，
解得x=，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA=，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB===，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，
∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），
∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，
∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，
∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，
∴当t=2时，p有最大值；


（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，
解得x=，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，
解得x=﹣，
综上所述，点A1的横坐标为或﹣．