2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（二）含答案解析

这是一份2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（二）含答案解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．给出四个数，，其中为无理数的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．0.5 D．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．某校八年级（3）班体训队员的身高（单位：cm）如下：169，165，166，164，169，167，166，169，166，165，获得这组数据方法是（　　）
A．直接观察 B．查阅文献资料
C．互联网查询 D．测量
4．一次函数y＝2x+1的图象不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
5．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
6．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（　　）

A．1 B． C． D．2
7．已知△ABC的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是 （　　）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（　　）

A． B． C． D．
10．七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（　　）
A．（1）班比（2）班的成绩稳定
B．（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定
D．无法确定哪班的成绩更稳定
11．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
12．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′＝（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题；共24分）
13．﹣5的相反数是　 　；﹣5的绝对值是　 　；﹣5的立方是　 　；﹣0.5的倒数是　 　．
14．写一个有两个相等的实数根的一元二次方程：　 　．
15．一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为　 　克．
16．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝　 　°．
17．在半径为6cm的圆中，圆心角为120°的扇形的面积是　 　cm2．
18．如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有　 　个正方形．

19．已知▱ABCD的顶点B（1，1），C（5，1），直线BD，CD的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，则BC＝　 　，点A的坐标是　 　．
20．如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为　 　．

三、解答题（本大题共7小题；共60分）
21．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin60°
（2）解方程﹣＝．
22．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花，每盆进价100元，售价为140元，平均每天可售出20盆．为扩大销量，增加利润，该店决定适当降价．据调查，每盆兰花每降价1元，每天可多售出2盆．要使得每天利润达到1200元，则每盆兰花售价应定为多少元？
23．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

24．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

25．如图，∠ABC＝38°，∠ACB＝100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．

26．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
27．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．


2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．给出四个数，，其中为无理数的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．0.5 D．
【分析】根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可作出判断．
【解答】解：结合所给的数可得，无理数有：．
故选：D．
【点评】此题考查了无理数的定义，关键要掌握无理数的三种形式，要求我们熟练记忆．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．某校八年级（3）班体训队员的身高（单位：cm）如下：169，165，166，164，169，167，166，169，166，165，获得这组数据方法是（　　）
A．直接观察 B．查阅文献资料
C．互联网查询 D．测量
【分析】要得出某校八年级（3）班体训队员的身高，需要测量．
【解答】解：因为要对篮球队员的身高的数据进行收集和整理，获得这组数据方法应该是测量．
故选：D．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，解答此题要明确，调查要进行数据的收集、整理．
4．一次函数y＝2x+1的图象不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．
【解答】解：∵2＞0，1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的性质，一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
5．若关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据△的意义得到k≠0且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵x的方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是（　　）

A．1 B． C． D．2
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°；
Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4；
∴AC＝AB＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质．
7．已知△ABC的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据题意，可以求得∠C的度数，然后将△ABC各个内角的度数即可判断△ABC的形状．
【解答】解：∵△ABC的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°，
∴△ABC是锐角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用三角形内角和的知识解答．
8．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是 （　　）
A． B． C． D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，
∴AB＝，
A．sinA＝＝＝，故此选项错误；
B．cosA＝＝，故此选项错误；
C．tanA＝＝，故此选项正确；
D．cotA＝＝，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E是BC的中点，得到CE＝BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH＝∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH＝，结果可求sin∠ECF＝＝．
【解答】解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴EF＝CE，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴，
∵AE＝＝10，
∴EH＝，
∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝＝，
（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝）
故选：D．

【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
10．七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（　　）
A．（1）班比（2）班的成绩稳定
B．（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定
D．无法确定哪班的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，
∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差，
∴（2）班比（1）班的成绩稳定．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周长是（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
【解答】解：如图所示，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI都是等边三角形．
所以AI＝AF＝3，BG＝BC＝1．
所以GI＝GH＝AI+AB+BG＝3+3+1＝7，DE＝HE＝HI﹣EF﹣FI＝7﹣2﹣3＝2，CD＝HG﹣CG﹣HD＝7﹣1﹣2＝4．
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3＝15；
故选：C．

【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．
12．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】解法一：作G′R⊥BC于R，则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC上，再证明CH＝HE′即可解决问题．
解法二：首先证明CG′+CE′＝AC，作G′M⊥AD于M．解直角三角形求出DM，AM，AD即可；
【解答】解法一：作G′R⊥BC于R，则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′＝∠IG′R＝90°，
∴∠DG′I＝∠RG′F′，
在△G′ID和△G′RF中
，
∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID＝∠G′RF′＝90°，
∴点F′在线段BC上，
在Rt△E′F′H中，∵E′F′＝2，∠E′F′H＝30°，
∴E′H＝E′F′＝1，F′H＝，
易证△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′＝E′H，RG′＝RC＝F′H，
∴CH＝RF′＝E′H，
∴CE′＝，
∵RG′＝HF′＝，
∴CG′＝RG′＝，
∴CE′+CG′＝+．
故选A．
解法二：作G′M⊥AD于M．
易证△DAG'≌△DCE'，
∴AG'＝CE'，
∴CG′+CE′＝AC，
在Rt△DMG′中，∵DG′＝2，∠MDG′＝30°，
∴MG′＝1，DM＝，
∵∠MAG′＝45°，∠AMG′＝90°，
∴∠MAG′＝∠MG′A＝45°，
∴AM＝MG′＝1，
∴AD＝1+，
∵AC＝AD，
∴AC＝+．
故选：A．


【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（本大题共8小题；共24分）
13．﹣5的相反数是　5　；﹣5的绝对值是　5　；﹣5的立方是　﹣125　；﹣0.5的倒数是　﹣2　．
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的意义以及有理数的乘方法则即可求解．
【解答】解：﹣5的相反数是5；﹣5的绝对值是5；﹣5的立方是﹣125；﹣0.5的倒数是﹣2．
故答案为5；5；﹣125；﹣2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数、绝对值、倒数的意义，是基础知识，需熟练掌握．
14．写一个有两个相等的实数根的一元二次方程：　x2+2x+1＝0　．
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．答案不唯一．
【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，
符合条件的一元二次方程为x2+2x+1＝0（答案不唯一），
故答案为：x2+2x+1＝0．
【点评】本题是一个开放性的题目，考查了一元二次方程的判别式，是一个基础性的题目．
15．一种饮料重约300克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为　不少于1.5　克．
【分析】根据题意求出蛋白质含量的最小值即可．
【解答】解：∵某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，
∴蛋白质含量的最小值＝300×0.5%＝1.5克，
∴白质的含量不少于1.5克．
故答案是：不少于1.5
【点评】本题考查的是不等式的定义，根据题意求出蛋白质含量的最小值是解答此题的关键．
16．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝　80　°．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝80°．
故答案为：80．
【点评】主要考查了三角形的内角和是180°．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
17．在半径为6cm的圆中，圆心角为120°的扇形的面积是　12π　cm2．
【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，
故圆心角为120°的扇形的面积＝＝12π（cm2）．
故答案为12π．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一般．
18．如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有　55　个正方形．

【分析】由已知图形得出第n个图形中小正方形的个数为12+22+…+（n﹣1）2+n2，据此可得．
【解答】解：由题意知，第五个图形中正方形有12+22+32+42+52＝55（个），
故答案为：55．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是掌握第n个图形中小正方形的个数为12+22+…+（n﹣1）2+n2．
19．已知▱ABCD的顶点B（1，1），C（5，1），直线BD，CD的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，则BC＝　4　，点A的坐标是　（3，7）　．
【分析】由顶点B（1，1），C（5，1），即可求得BC的长，又由直线BD，CD的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，利用待定系数法即可求得k与m的值，继而求得D的坐标，再由四边形ABCD是平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵顶点B（1，1），C（5，1），
∴BC＝5﹣1＝4；
∵直线BD，CD的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，
∴1＝k，1＝5m﹣14，
解得：k＝1，m＝3，
∴直线BD，CD的解析式分别是y＝x，y＝3x﹣14，
∴，
解得：，
∴D的坐标为：（7，7），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴A的坐标为：（3，7）．
故答案为：4，（3，7）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及一次函数的交点问题．注意掌握平移的性质的应用是解此题的关键．
20．如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为　8　．

【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN计算即可．
【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB为x′轴，OA为y′轴．

在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′＝﹣2x′+8，
由，解得或，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝•4•6﹣•4•2＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7小题；共60分）
21．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣）﹣1﹣2sin60°
（2）解方程﹣＝．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝3﹣﹣2﹣＝﹣2；
（2）去分母得：3﹣2x＝x﹣2，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花，每盆进价100元，售价为140元，平均每天可售出20盆．为扩大销量，增加利润，该店决定适当降价．据调查，每盆兰花每降价1元，每天可多售出2盆．要使得每天利润达到1200元，则每盆兰花售价应定为多少元？
【分析】设每盆兰花售价定为x元，则每天可售出20+2（140﹣x）＝300﹣2x盆兰花，根据总利润＝单盘利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，取其较小值即可．
【解答】解：设每盆兰花售价定为x元，则每天可售出20+2（140﹣x）＝300﹣2x盆兰花，
据题意得：（x﹣100）（300﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣250x+15600＝0，
解得：x1＝120，x2＝130，
∴为扩大销量，增加利润，
∴x＝120．
答：要使得每天利润达到1200元，则每盆兰花售价应定为120元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，据总利润＝单盘利润×销售数量，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
23．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．

【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
24．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？

【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：设运动了ts，
根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，
即，
解得：t＝；
当△APQ∽△ACB时，，
即，
解得：t＝4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
25．如图，∠ABC＝38°，∠ACB＝100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC＝38°，∠ACB＝100°（己知）
∴∠BAC＝180°﹣38°﹣100°＝42°（三角形内角和180°）．
又∵AD平分∠BAC（己知），
∴∠BAD＝21°，
∴∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝59°（三角形的外角性质）．
又∵AE是BC边上的高，即∠E＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣59°＝31°．
【点评】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
26．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．
【解答】（1）四边形APQD为平行四边形；
（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO＝45°，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，
∴OB＝OQ，
在△AOB和△OPQ中，


∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴OA⊥OP；
（3）如图，过O作OE⊥BC于E．
①如图1，当P点在B点右侧时，
则BQ＝x+2，OE＝，
∴y＝וx，即y＝（x+1）2﹣，
又∵0≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最大值为2；
②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ＝2﹣x，OE＝，
∴y＝וx，即y＝﹣（x﹣1）2+，
又∵0≤x≤2，
∴当x＝1时，y有最大值为；
综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．


【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键，又利用了二次函数的性质．
27．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．

【分析】（1）只要证明△ABC是等腰直角三角形即可；
（2）只要证明CB＝CP，CB＝CA即可；、
（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；
②分两种情形如图6中，作EK⊥PC于K．只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题；如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，可得S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，再根据S△BDE＝•S△PBD计算即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，连接BC．

∵＝，
∴BC＝CA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°．

（2）解：如图1中，设PB交CD于K．
∵＝，
∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA，
∴CD平分∠BDP，又∵CD⊥BP，
∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK，
∴△DKB≌△DKP，
∴BK＝KP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP＝CB＝CA．

（3）①（Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD＝15°；

理由：连接BD、OC．作BG⊥PC于G．则四边形OBGC是正方形，
∵BG＝OC＝OB＝CG，
∵BA＝BA，
∴PB＝2BG，
∴∠BPG＝30°，
∵AB∥PC，
∴∠ABP＝30°，
∵BD垂直平分AP，
∴∠ABD＝∠ABP＝15°，
∴∠ACD＝15°
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD＝105°；

理由：作BG⊥CP于G．
同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ACD＝105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD＝60°；

理由：作AH⊥PC于H，连接BC．
同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°，
∴∠ACD＝60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD＝120°

理由：作AH⊥PC于H．
同法可证：∠APH＝30°，可得∠ADC＝45°，∠DAC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ACD＝120°．
②如图6中，作EK⊥PC于K．

∵EK＝CK＝3，
∴EC＝3，
∵AC＝6，
∴AE＝EC，
∵AB∥PC，
∴∠BAE＝∠PCE，∵∠AEB＝∠PEC，
∴△ABE≌△CPE，
∴PC＝AB＝CD，
∴△PCD是等腰直角三角形，可得四边形ADBC是正方形，
∴S△BDE＝•S正方形ADBC＝36．
如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．

由题意CK＝EK＝3，PK＝1，PG＝2，
由△AOQ∽△PCQ，可得QC＝，
PQ2＝，
由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，
∴S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，
∴S△BDE＝•S△PBD＝
综上所，满足条件的△BDE的面积为36或．
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．