初中第十八章 平行四边形综合与测试优秀课后测评

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小专题(四)　特殊平行四边形的性质与判定　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．            2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．                            3．(2017·张掖)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．                                                       4．(2016·青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．                                                  5．(2017·青岛)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．                                               6．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．　　　　图1　　　　　　　　图2                                      7．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．                                       小专题(四)　特殊平行四边形的性质与判定　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE. (1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ADC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，∴△ACD≌△EDC(SAS)．(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE.∴△BDE是等腰三角形．  2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵CF＝AE，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE为平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10.∴AD＝BC＝10.又∵DF＝10，∴AD＝DF.∴∠DAF＝∠DFA.∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.∴∠DAF＝∠FAB.∴AF是∠DAB的平分线．  3．(2017·张掖)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD.∴∠OBE＝∠ODF.在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴EO＝FO.又∵OB＝OD.∴四边形BEDF是平行四边形．(2)∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥EF.设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝42＋(6－x)2.解得x＝.∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝.∵BD⊥EF，∴EO＝＝.∴EF＝2EO＝.4．(2016·青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)四边形BEDF是菱形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形．∴BO＝DO.在△BGD中，∵BG＝DG，BO＝DO，∴GO⊥BD.∴四边形BEDF是菱形．  5．(2017·青岛)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴BE＝DF.在△BCE和△DCF中，  ∴△BCE≌△DCF(SAS)．(2)当AB与BC满足AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．理由如下：∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．∵在菱形ABCD 中，点E，F 分别是边AB, AD的中点，∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°. ∴四边形AEOF为正方形．6．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.　　　　图1　　　　　　　　图2(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.∴∠FAE＝∠CED.∴AF∥EC.又∵AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形．(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，∴∠AOE＝∠BEC＝90°.∴∠AOE＝∠AOB＝90°.在△ABO和△AEO中，∴△ABO≌△AEO(ASA)．∴BO＝EO.同理可得△ABO≌△FBO，∴AO＝FO.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AF⊥BE，∴平行四边形ABFE是菱形．7．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.由题意，得EF＝AC，EH＝BD，GH＝AC，GF＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.同理：EH∥BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC.又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．