高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形优秀导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形优秀导学案，共13页。学案主要包含了第一学时，学习目标，学习重难点，学习过程，学习小结，精炼反馈，第二学时，参考答案等内容，欢迎下载使用。




【第一学时】


棱柱、棱锥、棱台的结构特征


【学习目标】


1. 理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别


2. 理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别


3. 能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形


【学习重难点】


1. 棱柱的结构特征


2. 棱锥、棱台的结构特征


3. 应用几何体的平面展开图


【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．空间几何体的定义是什么？


2．空间几何体分为哪几类？


3．常见的多面体有哪些？


4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？














二、新知探究





棱柱的结构特征


例1：下列关于棱柱的说法：


①所有的面都是平行四边形；


②每一个面都不会是三角形；


③两底面平行，并且各侧棱也平行；


④被平面截成的两部分可以都是棱柱．


其中正确说法的序号是__________．

















棱锥、棱台的结构特征


例2：下列关于棱锥、棱台的说法：


①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；


②棱台的侧面一定不会是平行四边形；


③棱锥的侧面只能是三角形；


④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；


⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．


其中正确说法的序号是________．




















空间几何体的平面展开图


例3：（1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（ ）


A．1 B．9


C．快 D．乐


（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

















【学习小结】


1．空间几何体的定义及分类


（1）定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．


（2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．


2．空间几何体


3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征


续 表


【精炼反馈】


1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）





A．3个


B．4个


C．5个


D．6个


2．下面图形中，为棱锥的是（）





A．①③


B．③④


C．①②④


D．①②


3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（）


A．四棱柱


B．四棱锥


C．三棱柱


D．三棱锥


4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为__________cm.


5．画一个三棱台，再把它分成：


（1）一个三棱柱和另一个多面体．


（2）三个三棱锥，并用字母表示．














【第二学时】


圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征


【学习目标】


1．理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体


2．了解简单组合体的概念和基本形式


3．会根据旋转体的几何体特征进行相关运算


【学习重难点】


1．圆柱、圆锥、圆台、球的概念


2．简单组合体的结构特征


3．旋转体中的计算问题


【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？


2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？


3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？

















二、新知探究





圆柱、圆锥、圆台、球的概念


例1：（1）给出下列说法：


①圆柱的底面是圆面；


②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；


③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；


④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．


其中说法正确的是________．


（2）给出以下说法：


①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；


②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；


③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；


④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．


其中正确说法的序号是________．




















简单组合体的结构特征


例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ）











[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．


解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．








旋转体中的计算问题


例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．




















【学习小结】


1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征


（1）圆柱的结构特征


（2）圆锥的结构特征


（3）圆台的结构特征


（4）球的结构特征


2．简单组合体


（1）概念


由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．


（2）两种构成形式


①由简单几何体拼接而成；


②由简单几何体截去或挖去一部分而成．


【精炼反馈】


1．如图所示的图形中有（ ）





A．圆柱、圆锥、圆台和球


B．圆柱、球和圆锥


C．球、圆柱和圆台


D．棱柱、棱锥、圆锥和球


2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是（ ）


A．圆锥


B．圆柱


C．球


D．棱柱


3．下列说法中正确的是________．


①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；


②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；


③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．


4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.


5．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？











【参考答案】


【第一课时】


二、新知探究


例1：【答案】③④


【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；


②错误，棱柱的底面可以是三角形；


③正确，由棱柱的定义易知；


④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.


例2：【答案】②③④


【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．


②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．


③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．


④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．


⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．


所以正确说法的序号为②③④.


例3：【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．


（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：





所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．


【精炼反馈】


1．【答案】C


【解析】选C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行．（2）其余各面是四边形．（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.


2．【答案】C


【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.


3．【答案】D


【解析】选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．


4．【答案】12


【解析】因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为eq \f(60,5)＝12（cm）．


5．【答案】解：画三棱台一定要利用三棱锥．





（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC.


（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.


【第二课时】


二、新知探究


例1：【答案】（1）①②


（2）①④


【解析】（1）①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．


（2）根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．


例2：【答案】A


【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.


例3：【答案】解：设圆台的母线长为lcm，


由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设


截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm，4rcm.过轴SO作截面，如图所示，


则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.


所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA)，所以eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r)＝eq \f(1,4).


解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9cm.


【精炼反馈】


1．【答案】B


【解析】选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.


2．【答案】D


3．【答案】②


【解析】①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．


4．【答案】10eq \r(3)


【解析】h＝20cs 30°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)（cm）．


5．【答案】解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示．


若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示．








类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
结构特征及分类
图形及记法
棱柱
结构特征
（1）有两个面（底面）互相平行


（2）其余各面都是四边形


（3）相邻两个四边形的公共边都互相平行



记作棱柱


ABCDEF­A′B′C′D′E′F′
分类
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…
结构特征及分类
图形及记法
棱锥
结构特征
（1）有一个面（底面）是多边形


（2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形



记作


棱锥S­ABCD
分类
按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
棱台
结构特征
（1）上下底面互相平行，且是相似图形


（2）各侧棱延长线相交于一点


（或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台）



记作


棱台ABCD­A′B′C′D′
分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴


底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面


侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面


母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边


柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴


底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面


侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面


母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边


锥体：圆锥和棱锥统称为锥体
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
轴：圆锥的轴


底面：圆锥的底面和截面


侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分


母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分


台体：圆台和棱台统称为台体
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心


半径：半圆的半径


直径：半圆的直径