高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀学案设计，共22页。学案主要包含了第一学时，学习过程，学习小结，精炼反馈，第二学时，第三学时等内容，欢迎下载使用。




【第一学时】


【学习过程】





一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．异面直线所成的角的定义是什么？


2．异面直线所成的角的范围是什么？


3．异面直线垂直的定理是什么？


4．直线与平面垂直的定义是什么？


5．直线与平面垂直的判定定理是什么？




















二、合作探究





异面直线所成的角


如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．





求：(1)BE与CG所成的角；


(2)FO与BD所成的角．























【解】 (1)如图，因为CG∥BF.


所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，


又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.


(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．


所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．


连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，


所以△AFH为等边三角形，


又知O为AH的中点，


所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.





1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．


解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，


所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.


2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．


解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.








直线与平面垂直的定义


(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )


A．平行 ．相交


C．异面 ．垂直


(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )


A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α


C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
































【解析】 (1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．


又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．


由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.


故l与m不可能平行．


(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．


【答案】 (1)A (2)B





直线与平面垂直的判定


如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.


(1)求证：PC⊥平面AEF；


(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.





























【证明】 (1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.


又AB⊥BC，PA∩AB＝A，


所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，


所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，


所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，


所以AE⊥PC.


又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，


所以PC⊥平面AEF.


(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，


所以PC⊥AG，


同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，


所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，


所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，


所以AG⊥PD.





1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.


证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，


又PA⊥平面ABCD，


BD⊂平面ABCD，


所以BD⊥PA，


因为PA∩AC＝A，


所以BD⊥平面PAC，又FH⊂平面PAC，


所以BD⊥FH.


2．[变条件]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.


证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥PA，


又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A，


所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD，


所以AG⊥DC，


因为PA＝AD，G是PD的中点，


所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D，


所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，


又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A，


所以PC⊥平面AFG.


3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD.


证明：取PD的中点G，连接AG，FG.


因为G，F分别是PD，PC的中点，


所以GFeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)CD，又AEeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)CD，所以GFeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))AE，


所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF.


因为PA＝AD，G是PD的中点，


所以AG⊥PD，所以EF⊥PD，


易知CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，


所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.


因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.


【学习小结】


1．异面直线所成的角


(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．


(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．


(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.


2．直线与平面垂直


3．直线与平面垂直的判定定理


【精炼反馈】


1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )


A．a⊥b，且a与b相交


B．a⊥b，且a与b不相交


C．a⊥b


D．a与b不一定垂直


解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．


2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )





A．平面DD1C1C ．平面A1DB1


C．平面A1B1C1D1 ．平面A1DB


解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.


3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线( )


A．相交且垂直 ．不相交也不垂直


C．相交不垂直 ．不相交但垂直


解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.


4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．


解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.


答案：60°











【第二学时】


【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．直线与平面所成的角的定义是什么？


2．直线与平面所成的角的范围是什么？


3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？


4．如何求直线到平面的距离？


5．如何求两个平行平面间的距离？




















二、合作探究





直线与平面所成的角


在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．























【解】 取AA1的中点M，连接EM，BM.





因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.


又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．


设正方体的棱长为2，


则EM＝AD＝2，BE＝ eq \r(22＋22＋12)＝3.


于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3)，


即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq \f(2,3).





线面垂直的性质定理的应用


如图，已知正方体A1C.


(1)求证：A1C⊥B1D1；


(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，


求证：MN∥A1C.














【证明】 (1)如图，连接A1C1.





因为CC1⊥平面A1B1C1D1，


B1D1⊂平面A1B1C1D1，


所以CC1⊥B1D1.


因为四边形A1B1C1D1是正方形，


所以A1C1⊥B1D1.


又因为CC1∩A1C1＝C1，


所以B1D1⊥平面A1C1C.


又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.


(2)如图，连接B1A，AD1.


因为B1C1eq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))AD，


所以四边形ADC1B1为平行四边形，


所以C1D∥AB1，


因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.


又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，


所以MN⊥平面AB1D1.


由(1)知A1C⊥B1D1.


同理可得A1C⊥AB1.


又因为AB1∩B1D1＝B1，


所以A1C⊥平面AB1D1.


所以A1C∥MN.





求点到平面的距离


如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．


(1)证明：PB∥平面AEC；


(2)设AP＝1，AD＝eq \r(3)，三棱锥P­ABD的体积V＝eq \f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．























【解】 (1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.


因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．


又点E为PD的中点，所以EO∥PB.


因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.


(2)V＝eq \f(1,6)AP·AB·AD＝eq \f(\r(3),6)AB.


由V＝eq \f(\r(3),4)，可得AB＝eq \f(3,2).


作AH⊥PB于点H.


由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．


因为PB＝eq \r(AP2＋AB2)＝eq \f(\r(13),2)，所以AH＝eq \f(AP·AB,PB)＝eq \f(3\r(13),13)，


所以点A到平面PBC的距离为eq \f(3\r(13),13).


【学习小结】


1．直线与平面所成的角


(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．


(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.


(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．


2．直线与平面垂直的性质定理


3. 线面距与面面距


(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．


(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．


【精炼反馈】


1．若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )


A．60° B．45°


C．30° D．90°


解析：选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(OB,AB)＝eq \f(1,2)，所以∠ABO＝60°.


2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是( )


A．PB⊥BC B．PD⊥CD


C．PD⊥BD D．PA⊥BD


解析：选C.PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；


eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC,ABCD为矩形⇒AB⊥BC))⇒


BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB.


故A正确；同理B正确；C不正确．


3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有( )


A．1条 B．2条


C．3条 D．无数条


解析：选A.显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1.


又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1.


同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．


4.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D是FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.


求证：BC∥FG.


证明：连接DE.


因为AD⊥AB，AD⊥AC，


所以AD⊥平面ABC.


又BC⊂平面ABC，


所以AD⊥BC.又AE⊥BC，


所以BC⊥平面ADE.


因为AF＝AG，D为FG的中点，


所以AD⊥FG.


同理ED⊥FG.又AD∩ED＝D，


所以FG⊥平面ADE.


所以BC∥FG.





【第三学时】


【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．二面角的定义是什么？


2．如何表示二面角？


3．二面角的平面角的定义是什么？


4．二面角的范围是什么？


5．面面垂直是怎样定义的？


6．面面垂直的判定定理的内容是什么？


7．面面垂直的性质定理的内容是什么？
































二、合作探究





二面角的概念及其大小的计算


（1）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1­BD­A的正切值为（ ）


A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)


C.eq \r(2) D.eq \r(3)


（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（ ）


A.相等 B.互补


C.相等或互补 D.不确定























【解析】 （1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.





又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角.


设AA1＝1，则AO＝eq \f(\r(2),2).所以tan∠A1OA＝eq \f(1,\f(\r(2),2))＝eq \r(2).


（2）反例：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­C的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补.


【答案】 （1）C （2）D





平面与平面垂直的判定


角度一 利用定义证明平面与平面垂直


如图，在四面体ABCD中，BD＝eq \r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.























【证明】 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，


所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.


在△ABD中，AB＝a，


BE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a，


所以AE＝ eq \r(AB2－BE2)＝eq \f(\r(2),2)a.


同理CE＝eq \f(\r(2),2)a，在△AEC中，


AE＝CE＝eq \f(\r(2),2)a，AC＝a.


由于AC2＝AE2＋CE2，


所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A­BD­C的平面角，又因为∠AEC＝90°，


所以二面角A­BD­C为直二面角，


所以平面ABD⊥平面BCD.


角度二 利用判定定理证明平面与平面垂直


如图，在四棱锥P­ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC⊥平面PBD.























【证明】 因为PA⊥平面ABCD，


BD⊂平面ABCD，


所以BD⊥PA.


因为四边形ABCD是菱形，


所以BD⊥AC.


又PA∩AC＝A，


所以BD⊥平面PAC.


又因为BD⊂平面PBD，


所以平面PAC⊥平面PBD.





面面垂直的性质定理的应用


已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.


























【证明】 如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，





因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，


所以AD⊥平面PBC，


又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.


因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，


所以PA⊥BC，


因为AD∩PA＝A，


所以BC⊥平面PAC，


又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC.





垂直关系的综合问题





如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：


（1）DE＝DA；


（2）平面BDM⊥平面ECA；


（3）平面DEA⊥平面ECA.


























【证明】 （1）如图，取EC的中点F，连接DF.


因为EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，


所以EC⊥BC.


同理可得BD⊥AB，


易知DF∥BC，所以DF⊥EC.


在Rt△EFD和Rt△DBA中，


因为EF＝eq \f(1,2)EC，EC＝2BD，


所以EF＝BD.


又FD＝BC＝AB，


所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.


（2）取CA的中点N，连接MN，BN，


则MN∥EC，且MN＝eq \f(1,2)EC.


因为EC∥BD，BD＝eq \f(1,2)EC，


所以MN綊BD，


所以N点在平面BDM内.


因为EC⊥平面ABC，


所以EC⊥BN.


又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA.


因为BN在平面MNBD内，


所以平面MNBD⊥平面ECA，


即平面BDM⊥平面ECA.


（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，


所以DM⊥平面ECA.


又DM⊂平面DEA，


所以平面DEA⊥平面ECA.


【学习小结】


1．二面角


(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．


(2)图形和记法


图形：





记作：二面角α­AB­β或二面角α­l­β或二面角P­AB­Q或二面角P­l­Q．


2．二面角的平面角


(1)定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．


(2)图形、符号及范围


图形：





符号：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∩β＝l，O∈l,OA⊂α，OB⊂β,OA⊥l，OB⊥l))⇒∠AOB是二面角的平面角．


范围：0°≤∠AOB≤180°．


(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．


3．平面与平面垂直


(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．


(2)判定定理


4．平面与平面垂直的性质定理


【精炼反馈】


1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（ ）


①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；


②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；


③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；


④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.


A.4 B.3


C.2 D.1


解析：选B.①②④正确.①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理.


2.在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中， 正确的是（ ）


A.若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α


B.若l⊥β，且α∥β，则l⊥α


C.若l⊥β，且α⊥β，则l∥α


D.若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α


解析：选B.A项中l与α可以平行或斜交，A项错.


B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确.


C项中，l可在α内，C项错.


D项中，l可在α内，D项错.


3.在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2eq \r(3)，则二面角P­AB­C的大小为 Ｗ.





解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，


所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角.在△PAB中，PM＝eq \r(22－（\r(3)）2)＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，所以∠PMC＝60°.


答案：60°


4.已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：


①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；


②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；


③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；


④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.


其中正确的说法序号为 Ｗ.


解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件.


答案：④


5.如图，四边形ABCD，BD＝2eq \r(3)，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.





证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝2eq \r(3)，


所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.


又因为平面EBD⊥平面ABD，


平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，


所以AB⊥平面EBD.


因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.








学习重难点
学习目标
核心素养
异面直线所成的角
会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线


所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角
直观想象、逻辑推理、


数学运算
直线与平面垂直的定义
理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中


“任意”两字的重要性
直观想象
直线与平面垂直


的判定定理
掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关


线面垂直的问题
直观想象、逻辑推理
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关


概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示


及画法






画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
文字


语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形


语言
符号


语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
学习重难点
学习目标
核心素养
直线与平面所成的角
了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法
直观想象、逻辑推理、


数学运算
直线与平面垂直的性质
理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题
直观想象、逻辑推理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行


②作平行线
考点
学习目标
核心素养
二面角
理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小
直观想象、数学运算
平面与平面垂直的判定定理
理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理
直观想象、逻辑推理
平面与平面垂直的性质定理
理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号


和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理


解决有关的垂直问题
直观想象、逻辑推理
文字语言
图形语言
符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥β,l⊂α))⇒α⊥β
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β, α∩β＝l ,a⊂α, a⊥l))⇒a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直


②作面的垂线