人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精品教学设计，共5页。教案主要包含了教学过程，课堂总结，课堂检测，教学重难点，教学目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。




【教学过程】


一、问题导入


预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：


1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？


2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？


3．两个向量（向量的模）能否比较大小？


4．如何判断相等向量或共线向量？向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(BA,\s\up6(→))是相等向量吗？


二、新知探究


1．向量的相关概念


例1：给出下列命题：


①若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；


②在▱ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))；


③若a＝b，b＝c，则a＝c．


其中所有正确命题的序号为________．


解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．


答案：②③


教师小结


（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件


①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．


（2）理解零向量和单位向量应注意的问题


①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；


②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．


2．向量的表示


例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：





（1）eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°方向上；


（2）eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，点B在点A正东方向上；


（3）eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．


解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up6(→))，如图所示．


（2）由于点B在点A正东方向上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up6(→))，如图所示．


（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up6(→))，如图所示．





教师小结：


用有向线段表示向量的步骤





3．共线向量与相等向量


例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，在每两点所确定的向量中．





（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？


（2）与a共线的向量有哪些？


解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))．


（2）与a共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))．


互动探究：


（1）变条件、变问法：本例中若eq \(OC,\s\up6(→))＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．


解：与a相等的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(EO,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))．


（2）变问法：本例条件不变，与eq \(AD,\s\up6(→))共线的向量有哪些？


解：与eq \(AD,\s\up6(→))共线的向量有eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(FE,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))．


教师小结


共线向量与相等向量的判断


（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．


（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．


（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c．


注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．


【课堂总结】


1．向量的概念及表示


（1）概念：既有大小又有方向的量．


（2）有向线段


①定义：具有方向的线段．


②三个要素：起点、方向、长度．


③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作eq \(AB,\s\up6(→))．


④长度：线段AB的长度也叫做有向线段eq \(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|．


（3）向量的表示





2．向量的有关概念


（1）向量的模（长度）：向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度（或称模），记作|eq \(AB,\s\up6(→))|．


（2）零向量：长度为0的向量，记作0．


（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．


3．两个向量间的关系


（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．


规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．


（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b．


■名师点拨


（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．


（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．


（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．


【课堂检测】


1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量的个数为（ ）





A．1B．2


C．3D．4


解析：选C．图中与eq \(AE,\s\up6(→))平行的向量为eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(FD,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))共3个．


2．下列结论中正确的是（ ）


①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；


②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；


③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；


④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|．


A．①③B．②③


C．③④D．②④


解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．


3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：


（1）与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量；


（2）与eq \(OB,\s\up6(→))长度相等的向量；


（3）与eq \(DA,\s\up6(→))共线的向量．


解：画出图形，如图所示．


（1）易知BC∥AD，BC＝AD，


所以与eq \(BC,\s\up6(→))相等的向量为eq \(AD,\s\up6(→))．


（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，


所以与eq \(OB,\s\up6(→))长度相等的向量为eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))，eq \(DO,\s\up6(→))．


（3）与eq \(DA,\s\up6(→))共线的向量为eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))．【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理