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考点10 反比例函数-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷
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这是一份考点10 反比例函数-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷，共79页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数的图象和性质，反比例函数解析式的确定，反比例函数中|k|的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考点10 反比例函数
反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2021年各地中考一定还会考，
反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点.
一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
六、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
考向一 反比例函数的定义
1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 ▲ （填序号）
【答案】②⑤．
【解析】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②是反比例函数；③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．
2．（2020·湖北宜昌·中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：（或者），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．
【解析】A图象反映的是，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．
1．（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由总量=vt，求出v即可．
【解析】解（1）∵vt=106，∴v=，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考向二 反比例函数的图象和性质
当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
1．（2020·山东菏泽·中考真题）从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【解析】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种， ∴其概率为：故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
2．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【解析】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
3．（2020·浙江金华·中考真题）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解析】解：，函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，，，．故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
【解析】将点（2,1）代入中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
2．（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【解析】解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
3．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【解析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
考向三 反比例函数解析式的确定
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
1．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
【答案】-1．
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解析】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2020·山东滨州·中考真题）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
1．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【解析】设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则的值是_________．
【答案】﹣12
【分析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【解析】依题意，将点代入，得：，解得：=﹣12，故答案为：﹣12．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
考向四 反比例函数与平面几何综合
1．（2020·浙江衢州·中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．
【答案】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN=MN=3，∴AN=MB=8﹣3=5，
设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），∴8x=（x+3）×5，
解得，x=5，∴F（5，8），∴k=5×8=40．故答案为：40．
【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
2．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．
【解析】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为∴设点C坐标为
∵ ∴ ∴ ∴∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是∴解得（舍去）
∴点B坐标为故应选：B
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．
1．（2020·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【解析】解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，∴BC=3，设B点的坐标为（x，-x），则，
解得（舍去）故B点坐标为，
代入中可得：，故答案为：A．
【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
2．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【解析】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，∴S△OAE=18，设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，∴F点的纵坐标为，代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），S△OAE=×3a×=18，解得k=12，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
考向五 反比例函数中k的几何意义
三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
1．（2020·山东威海·中考真题）如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（−2，−2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
【解析】解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m×1＝−2n＝4，∴m＝4，n＝−2，
∵P（4，1），Q（−2，−2），∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，∴S1＝4，
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3，∴S1：S2＝4：3，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．
2．（2020·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是_____．
【答案】
【分析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝−，由平行四边形的性质可得OB=10，BE=6，由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解．
【解析】解：∵双曲线 y＝（k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5），∴k＝﹣60，∴双曲线解析式为 y＝．
∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10，∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝上，
∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6．
∵△BOC和△BGC关于BC对称，∴BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，∴EG＝＝8．
延长EG交x轴于点H，
∵EG∥y轴，∴∠GHC是直角，在Rt△GHC中，设GC＝m，
则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，则有m2＝22+（6﹣m）2，
∴m=，∴GC＝＝OC，∴S△BOC=××10=，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
1．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．
【答案】
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解析】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，∴k＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
2．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【解析】作BD⊥BC交y轴于D，∵轴，，∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，∴的面积为4．故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
考向五 反比例函数与一次函数的综合
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
1．（2020·宁夏中考真题）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【解析】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
2．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
【解析】解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，的横坐标为2，如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，∴，∴，
，∴，∴，解得=1，的横坐标为1，
把代入得，，，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．
3．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把点代入解析式，即可得到结果；
（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形，设点B的坐标为，表示出△ABE的面积，根据△AOB得面积可得，得到点B的坐标，代入即可的到解析式；（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，代入即可求值．
【解析】解：（1）把点代入可得，∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，∴．
∴．
∵的面积为8，∴，整理得．
∴．解得（舍去）．∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，把代入，得．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
1．（2020·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为________．
【答案】2．
【分析】联立方程组求出A，B两点坐标，设，过P作轴，过B 作轴，过A作轴，交BF于F点，交PE于点E，分别求出梯形BFEP、△APE、△ABF、△AOB、△ABP的面积，根据的面积是的面积的2倍列方程求解即可．
【解析】联立方程组，解得，，，， 设，过P作轴，过B 作轴，过A作轴，交BF于F点，交PE于点E，如图，
，
，，
对于y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；∴，
，整理得，解得，，，
经检验，是原方程的解，∵x＞0，∴x=2．∴点P的横坐标为：2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
2．（2020·湖北襄阳·）如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．（1）______，______；（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【分析】（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【解析】解：（1）把x=1,y=4代入得，4=，解得m=4∴
当y=2时，2= 解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得解得∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1
∴OM=a，PM=,∴S△POM=
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
3．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【解析】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），∵直线交轴于点，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，∴∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
考向六 反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
1．（2020·山东临沂·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
…
…
…
…
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）控制在3.6以上的范围内
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，根据当时，可求出这个反比例函数的解析式；（2）将R的值分别代入函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成表格和函数图像；
（3）将I≤10代入函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解析】解：（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设，
∵当时，，代入，得：k=4×9=36，∴；
（2）填表如下：
函数图像如下：
（3）∵I≤10，，∴，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
1．（2020·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【解析】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，∴（0
经检验x=1是原分式方程的解1+0.2=1.2千立方米，600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
1．（2019·湖北孝感·中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
【解析】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，则，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
2．（2020·辽宁营口·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【解析】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，∴该函数图象在第三象限，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质.
3．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，正方形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】D
【分析】把点B代入反比例函数即可得出答案．
【解析】∵点在反比例函数的图象上，，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4．（2019·江苏徐州·中考真题）若、都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解析】函数，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内随的增大而减小，
、都在函数的图象上，且 ，，故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5．（2019·安徽中考真题）已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】A
【分析】先求出A'坐标，代入函数解析式即可求出k.
【解析】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标为：（1，3），将（1，3）代入反比例函数，
可得：k=1×3=3，故选A.
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出A'的坐标是解题关键.
6．（2019·山东济南·中考真题）函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解析】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
7．（2020·湖南张家界·中考真题）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【答案】B
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【解析】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则．故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
8．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2．
【解析】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝＝，
∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝，
∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝，
∴＝1，∴k＝＝2，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
9．（2019·江西中考真题）已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时， D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
【答案】C
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数 两个函数图象的另一个角点为，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误当或时，选项正确故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
10．（2020·四川内江·中考真题）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．
【解析】点A的坐标为（m，2n），∴，∵D为AC的中点，∴D（m，n），
∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，∴，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
11．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【解析】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．∵∴=
∵点A是双曲线上∴S△OAC= ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴=
∴ ∴=9 ∵函数图像位于第四象限∴ｋ＝﹣9故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
12．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为：_______________________．
【答案】或
【分析】因为与关于直线l对称，且直线轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为2m，利用等量关系计算出m的值，又由于有两个顶点在函数，从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上，求出k的值．
【解析】解：∵与关于直线l对称，直线轴，垂足为点，
∴，，
∵有两个顶点在函数
（1）设，在直线上，
代入有，不符合故不成立；
（2）设，在直线上，
有，，，，代入方程后k=-6；
（3）设，在直线上，
有，，，，代入方程后有k=-4；
综上所述，k=-6或k=-4；故答案为：-6或-4．
【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为对称轴横坐标的2倍是解题的关键．
13．（2020·湖南永州·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为_________．
【答案】6
【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．
【解析】令,解得,∴A(),C()．
∴B(),D()．则BD=,AB=,
∴S△ABD=．故答案为:6．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点．
14．（2020·浙江杭州·中考真题）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解析】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，∴当x＝m0时，p＝y1＝ ，
当x＝m0+1时，q＝y1＝，∴p＜0＜q，∴圆圆的说法不正确．
【点睛】此题考查反比例函数的性质特点，难度一般，能结合函数的增减性分析是解题关键．
15．（2020·湖南岳阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．
【答案】（1）；（2）b的值为1或9．
【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
【解析】（1）由题意，将点代入一次函数得：
将点代入得：，解得 则反比例函数的表达式为；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为
联立整理得：
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点
关于x的一元二次方程只有一个实数根
此方程的根的判别式解得则b的值为1或9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
16．（2020·四川南充·中考真题）如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）；（2）10
【分析】（1）求出点D的坐标即可解决问题；（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．
【解析】解：（1）由点在上，则，∴，
∵轴，与反比例函数图象交于点，且∴，即，
∴，反比例函数解析式为；
（2）∵是直线与反比例函数图象的交点∴，
∵∴，则∴，，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2020·四川凉山·中考真题）如图，已知直线
（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围
（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点、，当时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式的解集
【答案】（1）；（2）；或；
【分析】（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；
（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．
【解析】解：（1）∵与的图像在第一象限内至少有一个交点，
∴令，则，∴，
∴；∴k的取值范围为：；
（2）由（1）得，∴，，∴
∵，∴，∴；∴，解得：，，
∴不等式的解集是：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题．
18．（2020·山东济南·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解析】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，而BD＝，∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，同理可得，点G（1，3），同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
【点睛】本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H.
19．（2019·湖南郴州中考真题）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点，，，在函数图象上， ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时，求自变量x的值；③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值；④若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①，；②或；③；④.
【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案；②把y=2代入y=|x-1|进行求解即可；③由图可知时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可；④观察图象即可得答案.
【解析】 (1)如图所示：
(2)①，，A与B在上，y随x的增大而增大，；
，，C与D在上，观察图象可得，故答案为，；
②当时，，(不符合)，当时，，或；
③，在的右侧，时，点关于对称，
，；
④由图象可知，.
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
20.（2020·广东省·中考模拟）某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；
（2）求反比例函数y=_____的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
【解析】（1）当0≤x≤40时，设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，
（10，35）和（30，65）在y=ax+b的图象上，把（10，35）和（30，65）代入y=ax+b，得
，得，∴y=1.5x+20，
当x=0时，y=1.5×0+20=20，故答案为：20；
（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，∴点E（40，80），
∵点E在反比例函数y=的图象上，∴80=，得k=3200，即反比例函数y=，
当y=20时，20=，得x=160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．
1．（2020•无锡）反比例函数y与一次函数y的图形有一个交点B（，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y的图象过点B（，m），∴m，∴点B（，），
∵反比例函数y过点B，∴k，故选：C．
2．（2020·山西中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【解析】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，则．故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
3．（2020·湖南衡阳·中考模拟）对于反比例函数，下列说法不正确的是
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点（1,-2） D．若点，都在图象上，且，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2
4．（2020·青海）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
【解析】A. 由图象可知：，故A错误；B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．
5．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C．42 D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；
【解析】解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE =∠BAO．
在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，∴OE=3+4=7，∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数的图象上，∴k=-7×3=-21．故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
6．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且．函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，过作轴于点，由，用表示点坐标，再求得关于的解析式，最后由不等式的性质求得的取值范围．
【解析】解：点的坐标为，轴于点，，，
设，，过作轴于点，
则，，，，，
，，，，
，，，把，代入函数中，得
，，故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出关于的解析式．
7．（2020·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【解析】解：如图，
连接OA、OB、PC．∵AC⊥y轴，∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．11 D．12
【答案】B
【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果.
【解析】解：连接OA和OC，∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等，
∵A在上，C在上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6，∴△APC的面积为6，故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键.
9．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
【答案】
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC=60°，∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（），代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1（舍去），∴OA1=2OC=2，∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：y=或y=（舍去）
∴A1D=，A1A2=，OA2=∴A2（，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：z=或z=（舍去）
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3（，0），综上可得：An（，0），故答案为：．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
10．（2020·湖北随州·中考真题）如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为____．
【答案】2
【分析】设A点坐标为，C点坐标为，求出B点坐标为，根据B点在上可得，整理得，再根据三角形面积公式得可得k的值．
【解析】解：设A点坐标为，C点坐标为，
恰为的中点，点的坐标为，
点在的图象上，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
11．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【解析】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
12．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（，k为常数且）的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________（结果用含k的式子表示）
【答案】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k,从而可以求出阴影部分ODBC的面积.
【解析】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数（，k为常数且）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.故答案为：k-1.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
13．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为_____．
【答案】12
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解析】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
14．（2020·浙江嘉兴·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．
【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为()；
（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点．
15．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，进而得出点坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；（2）先判断出，进而得出，得出，，即，再求出，进而得出，，即，再判断出，得出，得出，最后用勾股定理求出，即可得出结论．
【解析】解：（1）当时，点，
点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；
点在反比例函数图象上，，，
设直线的解析式为，则，，
直线的解析式为；
（2）如图，过点作轴于，过作轴于，过点作于，交于，
则四边形是矩形，，，
，，，，，
在和中，，，
，，，
点，在反比例函数的图象上，，，
，，，
，，，
，，，，
在中，，，根据勾股定理得，，
，，，反比例函数的解析式为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键．
16．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【解析】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴;故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得
，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
17．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）的面积为______；（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【解析】解：（1）把代入反比例函数得：m=6，∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，∴-3a=6，解得a=-2，∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，故答案为：8；
（3）由图象可知：时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
18．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．
【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一）
【分析】（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是，再代入反比例函数即可解答；
（2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程即可解答；
（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到，求出a的取值范围，再在范围内任取一个a的值即可．
【解析】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，
∴当时，，∴其中一个交点是．∴．∴反比例函数的表达式是．
（2）∵一次函数的图象向下平移2个单位，∴平移后的表达式是．
联立及，可得一元二次方程，解得，．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为
（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），∵经过点，则b=5，∴y=ax+5，
联立y=ax+5以及可得：，若一次函数图象与反比例函数图象无交点，
则，解得：，∴（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题以及函数图象平移问题，解题的关键是熟悉函数图象上点的特征，第（3）问需要先确定a的取值范围．
19．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【解析】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵，∴B（0，）；
（2）∵，∴E（-6，0），设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y=x+3上，
联立：，解得：，∴M（1，4），∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
20．（2020·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【分析】（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【解析】解：（1）∵D为的中点，，∴．
∵四边形是矩形，，∴D点坐标为．
∵在的图象上，∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．∴E点坐标为．
∵直线过点和点∴解得
∴直线的解析式为．∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．
（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过 ∴解得
∴直线的解析式为．令，得． ∴点P坐标为．
（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
21．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知某厂以小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现时，，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24千克；（3）该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【分析】（1）将y=看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明即可；（2）由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得×2=1800，解出t值即可；（3）根据题意表示出生产680千克该产品获得的利润为y=680t·，再求出y的最大值以及此时t值即可.
【解析】解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y=，当t=1时，y=180，
∵当，随t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小，
∴-3t+的值随t的增大而减小，∴y=随t的增大而减小，
当t=1时，y取最小，∴他的结论正确；
（2）由题意可得：×2=1800，整理得：，解得：t=或-5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷=24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y=，当t=时，y最大，且为207400元.
故该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【点睛】本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值，理解题意，确定函数模型是解题的关键.
22．（2020·湖南郴州·）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【解析】（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，
当时，＞；当，则＜；当，则＝；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为米，∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，∴
即：与的函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5∴∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点10 反比例函数
反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2021年各地中考一定还会考，
反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点.
一、反比例函数的概念
1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
二、反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象与性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
2．反比例函数图象的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
3．注意
（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．
（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．
（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
三、反比例函数解析式的确定
1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
四、反比例函数中|k|的几何意义
1．反比例函数图象中有关图形的面积
2．涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
五、反比例函数与一次函数的综合
1．涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2．求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
六、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
考向一 反比例函数的定义
1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 ▲ （填序号）
【答案】②⑤．
【解析】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；②是反比例函数；③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；④不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．
2．（2020·湖北宜昌·中考真题）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：（或者），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．
【解析】A图象反映的是，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．
1．（2020·湖南长沙·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由总量=vt，求出v即可．
【解析】解（1）∵vt=106，∴v=，故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考向二 反比例函数的图象和性质
当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
1．（2020·山东菏泽·中考真题）从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【分析】从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【解析】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种， ∴其概率为：故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
2．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【解析】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．
3．（2020·浙江金华·中考真题）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【解析】解：，函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，，，．故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
【解析】将点（2,1）代入中，解得：k=2，A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
2．（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【解析】解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
3．（2020·广西中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③该函数图象关于直线y＝﹣x对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．
【答案】3
【分析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可得，图象过第二象限，可得k＜0，然后根据反比例函数的图象和性质即可进行判断．
【解析】观察反比例函数y＝（x＜0）的图象可知：图象过第二象限，∴k＜0，所以①错误；
因为当x＜0时，y随x的增大而增大，所以②正确；因为该函数图象关于直线y＝﹣x对称，所以③正确；
因为点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，所以k＝﹣6，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上，所以④正确．所以其中正确结论的个数为3个．故答案为：3．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象和性质是解题的关键．
考向三 反比例函数解析式的确定
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
1．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为_____．
【答案】-1．
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解析】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2020·山东滨州·中考真题）若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为________．
【答案】
【分析】利用正比例函数解析式求出交点的横坐标，再将交点的坐标代入反比例函数解析式中求出k即可得到答案.
【解析】令y=2x中y=2，得到2x=2，解得x=1，
∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是（1,2），
设反比例函数解析式为，将点（1,2）代入，得，
∴反比例函数的解析式为，故答案为：.
【点睛】此题考查函数图象上点的坐标，函数图象的交点坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正确计算解答问题.
1．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【解析】设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图像经过点，则的值是_________．
【答案】﹣12
【分析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【解析】依题意，将点代入，得：，解得：=﹣12，故答案为：﹣12．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
考向四 反比例函数与平面几何综合
1．（2020·浙江衢州·中考真题）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD=3，三角板的斜边FG=，则k=_____．
【答案】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN=AD=3，
在Rt△FMN中，∠MFN=30°，∴FN=MN=3，∴AN=MB=8﹣3=5，
设OA=x，则OB=x+3，∴F（x，8），M（x+3，5），∴8x=（x+3）×5，
解得，x=5，∴F（5，8），∴k=5×8=40．故答案为：40．
【点睛】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
2．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．
【解析】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为∴设点C坐标为
∵ ∴ ∴ ∴∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是∴解得（舍去）
∴点B坐标为故应选：B
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．
1．（2020·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【解析】解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，∴BC=3，设B点的坐标为（x，-x），则，
解得（舍去）故B点坐标为，
代入中可得：，故答案为：A．
【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
2．（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】先证明OB∥AE，得出S△ABE=S△OAE=18，设A的坐标为（a，），求出F点的坐标和E点的坐标，可得S△OAE=×3a×=18，求解即可．
【解析】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，∴S△OAE=18，设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，∴F点的纵坐标为，代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），S△OAE=×3a×=18，解得k=12，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S△ABE=S△OAE=18是解题关键．
考向五 反比例函数中k的几何意义
三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
1．（2020·山东威海·中考真题）如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（−2，−2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
【解析】解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m×1＝−2n＝4，∴m＝4，n＝−2，
∵P（4，1），Q（−2，−2），∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，∴S1＝4，
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3，∴S1：S2＝4：3，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键．
2．（2020·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上，顶点C，D位于x轴的负半轴上，双曲线y＝（k＜0，x＜0）与▱ABCD的边AB，AD交于点E、F，点A的纵坐标为10，F（﹣12，5），把△BOC沿着BC所在直线翻折，使原点O落在点G处，连接EG，若EG∥y轴，则△BOC的面积是_____．
【答案】
【分析】将点F坐标代入解析式，可求双曲线解析式为y＝−，由平行四边形的性质可得OB=10，BE=6，由勾股定理可求EG的长，由勾股定理可求CO的长，即可求解．
【解析】解：∵双曲线 y＝（k＜0，x＜0）经过点F（﹣12，5），∴k＝﹣60，∴双曲线解析式为 y＝．
∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10，∴BO＝10，点E的纵坐标为10，且在双曲线y＝上，
∴点E的横坐标为﹣6，即BE＝6．
∵△BOC和△BGC关于BC对称，∴BG＝BO＝10，GC＝OC．
∵EG∥y轴，在Rt△BEG中，BE＝6，BG＝10，∴EG＝＝8．
延长EG交x轴于点H，
∵EG∥y轴，∴∠GHC是直角，在Rt△GHC中，设GC＝m，
则有CH＝OH﹣OC＝BE﹣GC＝6﹣m，GH＝EH﹣EG＝10﹣8＝2，则有m2＝22+（6﹣m）2，
∴m=，∴GC＝＝OC，∴S△BOC=××10=，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题关键．
1．（2020·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是_____．
【答案】
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE=S△OBD=k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解析】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，
∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝2+2+k，∴k＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
2．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【解析】作BD⊥BC交y轴于D，∵轴，，∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，∴的面积为4．故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
考向五 反比例函数与一次函数的综合
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
1．（2020·宁夏中考真题）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【解析】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，
故本题答案为：或．故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
2．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的横坐标，把横坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值．
【解析】解：直线与反比例函数的图象交于点，
解求得，的横坐标为2，如图，过C点、A点作y轴垂线，
OA//BC，∴，∴，
，∴，∴，解得=1，的横坐标为1，
把代入得，，，
将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线，
把的坐标代入得，求得，故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及函数的交点、一次函数平移、待定系数法求函数解析式等知识，求得交点坐标是解题的关键．
3．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把点代入解析式，即可得到结果；
（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形，设点B的坐标为，表示出△ABE的面积，根据△AOB得面积可得，得到点B的坐标，代入即可的到解析式；（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，代入即可求值．
【解析】解：（1）把点代入可得，∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，∴．
∴．
∵的面积为8，∴，整理得．
∴．解得（舍去）．∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，把代入，得．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
1．（2020·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为________．
【答案】2．
【分析】联立方程组求出A，B两点坐标，设，过P作轴，过B 作轴，过A作轴，交BF于F点，交PE于点E，分别求出梯形BFEP、△APE、△ABF、△AOB、△ABP的面积，根据的面积是的面积的2倍列方程求解即可．
【解析】联立方程组，解得，，，， 设，过P作轴，过B 作轴，过A作轴，交BF于F点，交PE于点E，如图，
，
，，
对于y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；∴，
，整理得，解得，，，
经检验，是原方程的解，∵x＞0，∴x=2．∴点P的横坐标为：2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
2．（2020·湖北襄阳·）如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点．（1）______，______；（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________．
【答案】（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2
【分析】（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；
（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可．
【解析】解：（1）把x=1,y=4代入得，4=，解得m=4∴
当y=2时，2= 解得，n=2
（2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得解得∴y2=-2x+6
当y1＜y2时，从图象看得出：1
∴OM=a，PM=,∴S△POM=
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．
3．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）（3，0）或（-5，0）
【分析】（1）将点A坐标代入中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【解析】（1）将点A（1,2）坐标代入中得：m=1×2=2，∴反比例函数的表达式为，
将点B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）设点P（x，0），∵直线交轴于点，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，
∵的面积是，∴∴解得：，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示线段长是解答的关键．
考向六 反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
1．（2020·山东临沂·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．（1）写出I关于R的函数解析式；（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
…
…
…
…
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过．那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】（1）；（2）见解析；（3）控制在3.6以上的范围内
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，根据当时，可求出这个反比例函数的解析式；（2）将R的值分别代入函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成表格和函数图像；
（3）将I≤10代入函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解析】解：（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设，
∵当时，，代入，得：k=4×9=36，∴；
（2）填表如下：
函数图像如下：
（3）∵I≤10，，∴，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6以上的范围内．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
1．（2020·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【解析】解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，∴（0
经检验x=1是原分式方程的解1+0.2=1.2千立方米，600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数关系式；（2）根据工期比原计划提前了100天列出方程．
1．（2019·湖北孝感·中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂. 小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案.
【解析】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：，则，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键.
2．（2020·辽宁营口·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【解析】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，∴该函数图象在第三象限，故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象,关键在于熟记反比例函数图象的性质.
3．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，正方形的两个顶点，在反比例函数的图象上，对角线，的交点恰好是坐标原点，已知，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】D
【分析】把点B代入反比例函数即可得出答案．
【解析】∵点在反比例函数的图象上，，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4．（2019·江苏徐州·中考真题）若、都在函数的图象上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．
【解析】函数，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内随的增大而减小，
、都在函数的图象上，且 ，，故选A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5．（2019·安徽中考真题）已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】A
【分析】先求出A'坐标，代入函数解析式即可求出k.
【解析】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标为：（1，3），将（1，3）代入反比例函数，
可得：k=1×3=3，故选A.
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出A'的坐标是解题关键.
6．（2019·山东济南·中考真题）函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解析】时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
时，，在一、三、四象限，（）在二、四象限，只有D符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
7．（2020·湖南张家界·中考真题）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
【答案】B
【分析】根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【解析】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则．故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
8．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2．
【解析】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝＝，
∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝，
∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝，
∴＝1，∴k＝＝2，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键．
9．（2019·江西中考真题）已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．当或时， D．正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
【答案】C
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数 两个函数图象的另一个角点为，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误当或时，选项正确故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
10．（2020·四川内江·中考真题）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．
【解析】点A的坐标为（m，2n），∴，∵D为AC的中点，∴D（m，n），
∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，∴，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
11．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【分析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【解析】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．∵∴=
∵点A是双曲线上∴S△OAC= ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，∴△OAC∽△BOD，∴=
∴ ∴=9 ∵函数图像位于第四象限∴ｋ＝﹣9故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
12．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为：_______________________．
【答案】或
【分析】因为与关于直线l对称，且直线轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为2m，利用等量关系计算出m的值，又由于有两个顶点在函数，从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上，求出k的值．
【解析】解：∵与关于直线l对称，直线轴，垂足为点，
∴，，
∵有两个顶点在函数
（1）设，在直线上，
代入有，不符合故不成立；
（2）设，在直线上，
有，，，，代入方程后k=-6；
（3）设，在直线上，
有，，，，代入方程后有k=-4；
综上所述，k=-6或k=-4；故答案为：-6或-4．
【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为对称轴横坐标的2倍是解题的关键．
13．（2020·湖南永州·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为_________．
【答案】6
【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．
【解析】令,解得,∴A(),C()．
∴B(),D()．则BD=,AB=,
∴S△ABD=．故答案为:6．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点．
14．（2020·浙江杭州·中考真题）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【答案】（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解析】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1最大值为，①；当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，
则m0＜0，m0+1＞0，∴当x＝m0时，p＝y1＝ ，
当x＝m0+1时，q＝y1＝，∴p＜0＜q，∴圆圆的说法不正确．
【点睛】此题考查反比例函数的性质特点，难度一般，能结合函数的增减性分析是解题关键．
15．（2020·湖南岳阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．
【答案】（1）；（2）b的值为1或9．
【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
【解析】（1）由题意，将点代入一次函数得：
将点代入得：，解得 则反比例函数的表达式为；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为
联立整理得：
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点
关于x的一元二次方程只有一个实数根
此方程的根的判别式解得则b的值为1或9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
16．（2020·四川南充·中考真题）如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）；（2）10
【分析】（1）求出点D的坐标即可解决问题；（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．
【解析】解：（1）由点在上，则，∴，
∵轴，与反比例函数图象交于点，且∴，即，
∴，反比例函数解析式为；
（2）∵是直线与反比例函数图象的交点∴，
∵∴，则∴，，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（2020·四川凉山·中考真题）如图，已知直线
（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围
（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点、，当时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式的解集
【答案】（1）；（2）；或；
【分析】（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；
（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．
【解析】解：（1）∵与的图像在第一象限内至少有一个交点，
∴令，则，∴，
∴；∴k的取值范围为：；
（2）由（1）得，∴，，∴
∵，∴，∴；∴，解得：，，
∴不等式的解集是：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题．
18．（2020·山东济南·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解析】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，而BD＝，∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cos∠OCA＝2×＝，故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，同理可得，点G（1，3），同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
【点睛】本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H.
19．（2019·湖南郴州中考真题）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点，，，在函数图象上， ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时，求自变量x的值；③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值；④若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）①，；②或；③；④.
【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案；②把y=2代入y=|x-1|进行求解即可；③由图可知时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可；④观察图象即可得答案.
【解析】 (1)如图所示：
(2)①，，A与B在上，y随x的增大而增大，；
，，C与D在上，观察图象可得，故答案为，；
②当时，，(不符合)，当时，，或；
③，在的右侧，时，点关于对称，
，；
④由图象可知，.
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．
20.（2020·广东省·中考模拟）某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；
（2）求反比例函数y=_____的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
【解析】（1）当0≤x≤40时，设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，
（10，35）和（30，65）在y=ax+b的图象上，把（10，35）和（30，65）代入y=ax+b，得
，得，∴y=1.5x+20，
当x=0时，y=1.5×0+20=20，故答案为：20；
（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，∴点E（40，80），
∵点E在反比例函数y=的图象上，∴80=，得k=3200，即反比例函数y=，
当y=20时，20=，得x=160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．
1．（2020•无锡）反比例函数y与一次函数y的图形有一个交点B（，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】将点B坐标代入一次函数解析式可求点B坐标，再代入反比例函数解析式，可求解．
【解析】∵一次函数y的图象过点B（，m），∴m，∴点B（，），
∵反比例函数y过点B，∴k，故选：C．
2．（2020·山西中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【解析】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，则．故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
3．（2020·湖南衡阳·中考模拟）对于反比例函数，下列说法不正确的是
A．图象分布在第二、四象限 B．当时，随的增大而增大
C．图象经过点（1,-2） D．若点，都在图象上，且，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确；
D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2
4．（2020·青海）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
【解析】A. 由图象可知：，故A错误；B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响是解题的关键．
5．（2020·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C．42 D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；
【解析】解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE =∠BAO．
在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，∴OE=3+4=7，∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数的图象上，∴k=-7×3=-21．故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
6．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，且．函数的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，，过作轴于点，由，用表示点坐标，再求得关于的解析式，最后由不等式的性质求得的取值范围．
【解析】解：点的坐标为，轴于点，，，
设，，过作轴于点，
则，，，，，
，，，，
，，，把，代入函数中，得
，，故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出关于的解析式．
7．（2020·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【解析】解：如图，
连接OA、OB、PC．∵AC⊥y轴，∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．11 D．12
【答案】B
【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积即为△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的意义，利用S△AOC=S△OAB-S△OBC，可得结果.
【解析】解：连接OA和OC，∵点P在y轴上，则△AOC和△APC面积相等，
∵A在上，C在上，AB⊥x轴，
∴S△AOC=S△OAB-S△OBC=6，∴△APC的面积为6，故选B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键.
9．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，，，，…，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，…，都在反比例函数的图象上，点，，，…，，都在轴上，则的坐标为________．
【答案】
【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．
【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，
∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC=60°，∴，B1C= OC，
设OC的长度为x，则B1的坐标为（），代入函数关系式可得：，
解得，x=1或x=-1（舍去），∴OA1=2OC=2，∴A1（2，0）
设A1D的长度为y，同理，B2D为y，B2的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：y=或y=（舍去）
∴A1D=，A1A2=，OA2=∴A2（，0）
设A2E的长度为z，同理，B3E为z，B3的坐标表示为，
代入函数关系式可得，解得：z=或z=（舍去）
∴A2E=，A2A3=，OA3=
∴A3（，0），综上可得：An（，0），故答案为：．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角三角形，灵活运用各类知识求出A1、A2、A3的坐标是解题的关键．
10．（2020·湖北随州·中考真题）如图，直线与双曲线在第一象限内交于、两点，与轴交于点，点为线段的中点，连接，若的面积为3，则的值为____．
【答案】2
【分析】设A点坐标为，C点坐标为，求出B点坐标为，根据B点在上可得，整理得，再根据三角形面积公式得可得k的值．
【解析】解：设A点坐标为，C点坐标为，
恰为的中点，点的坐标为，
点在的图象上，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
11．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为_______．
【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【解析】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴，故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
12．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（，k为常数且）的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________（结果用含k的式子表示）
【答案】
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k,从而可以求出阴影部分ODBC的面积.
【解析】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数（，k为常数且）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.故答案为：k-1.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
13．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为_____．
【答案】12
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．
【解析】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，
∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12，故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，菱形的性质，勾股定理，掌握数形结合的思想是解题关键．
14．（2020·浙江嘉兴·中考真题）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．
（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．
【答案】（1）图象见解析，()；（2）y1＞y2，理由见解析．
【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为()；
（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点和求函数关系表达式，解题的关键是求出函数表达式，并熟悉反比例函数的性质和特点．
15．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式中求出，进而得出点坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；（2）先判断出，进而得出，得出，，即，再求出，进而得出，，即，再判断出，得出，得出，最后用勾股定理求出，即可得出结论．
【解析】解：（1）当时，点，
点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；
点在反比例函数图象上，，，
设直线的解析式为，则，，
直线的解析式为；
（2）如图，过点作轴于，过作轴于，过点作于，交于，
则四边形是矩形，，，
，，，，，
在和中，，，
，，，
点，在反比例函数的图象上，，，
，，，
，，，
，，，，
在中，，，根据勾股定理得，，
，，，反比例函数的解析式为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出是解本题的关键．
16．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【解析】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴;故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得
，当时，，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.
17．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）的面积为______；（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【解析】解：（1）把代入反比例函数得：m=6，∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，∴-3a=6，解得a=-2，∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，故答案为：8；
（3）由图象可知：时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
18．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．
【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一）
【分析】（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是，再代入反比例函数即可解答；
（2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程即可解答；
（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到，求出a的取值范围，再在范围内任取一个a的值即可．
【解析】解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，
∴当时，，∴其中一个交点是．∴．∴反比例函数的表达式是．
（2）∵一次函数的图象向下平移2个单位，∴平移后的表达式是．
联立及，可得一元二次方程，解得，．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为
（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），∵经过点，则b=5，∴y=ax+5，
联立y=ax+5以及可得：，若一次函数图象与反比例函数图象无交点，
则，解得：，∴（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题以及函数图象平移问题，解题的关键是熟悉函数图象上点的特征，第（3）问需要先确定a的取值范围．
19．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图像上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可.
【解析】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵，∴B（0，）；
（2）∵，∴E（-6，0），设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y=x+3上，
联立：，解得：，∴M（1，4），∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一次函数表达式，正方形的性质，反比例函数表达式，难度较大，解题的关键是根据图像画出符合条件的正方形.
20．（2020·黑龙江绥化·中考真题）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E，直线的解析式为．
（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；（2）在y轴上找一点P，使的周长最小，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，的周长最小值是______．
【答案】（1），；（2）点P坐标为；（3）．
【分析】（1）首先求出D点坐标，然后将D点坐标代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函数的解析式.将x=2代入反比例函数解析式求出对应y的值，即得到E点的坐标，然后将点D,E两点的坐标代入一次函数的解析式中，即可求出DE的解析式.
(2)作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．此时的周长最小.然后求出直线的解析式，求直线与y轴的交点坐标，即可得出P点的坐标；
（3）的周长的最小值为DE+，分别利用勾股定理两条线段的长，即可求.
【解析】解：（1）∵D为的中点，，∴．
∵四边形是矩形，，∴D点坐标为．
∵在的图象上，∴．∴反比例函数解析式为．
当时，．∴E点坐标为．
∵直线过点和点∴解得
∴直线的解析式为．∴反比例函数解析式为，
直线的解析式为．
（2）作点D关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接．
此时的周长最小．∵点D的坐标为，∴点的坐标为．
设直线的解析式为．
∵直线经过 ∴解得
∴直线的解析式为．令，得． ∴点P坐标为．
（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),
∴BD=1,BE=2,B=3.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.
在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.
的周长的最小值为+DE =．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题等，难度适中，正确的求出解析式和找到周长最小时的点P是解题的关键.
21．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知某厂以小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），且每小时可获得利润元．
（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现时，，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；
（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】（1）见解析；（2）24千克；（3）该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【分析】（1）将y=看成一个正比例函数和一个反比例函数之和，再分贝根据两函数的增减性说明即可；（2）由以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产可得×2=1800，解出t值即可；（3）根据题意表示出生产680千克该产品获得的利润为y=680t·，再求出y的最大值以及此时t值即可.
【解析】解：（1）依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；
令y=，当t=1时，y=180，
∵当，随t的增大而减小，-3t也随t的增大而减小，
∴-3t+的值随t的增大而减小，∴y=随t的增大而减小，
当t=1时，y取最小，∴他的结论正确；
（2）由题意可得：×2=1800，整理得：，解得：t=或-5（舍），
即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷=24千克；
（3）生产680千克该产品获得的利润为：y=680t·
整理得：y=，当t=时，y最大，且为207400元.
故该厂应该选取小时/千克的生产速度，最大利润为207400元.
【点睛】本题考查了函数模型的建立，涉及到一次函数、反比例函数和二次函数，以及二次函数的最值，理解题意，确定函数模型是解题的关键.
22．（2020·湖南郴州·）为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
（2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则 ；若，则 ；若，则 （填“>”，“=”，“<”）．
（3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．①请写出与的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内?
【答案】（1）见解析；（2）＞；＜；＝；（3）①；②．
【分析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出与的函数关系式；②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【解析】（1）如图1所示；
（2）根据图象和表格可知，
当时，＞；当，则＜；当，则＝；
（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为米，∴水池侧面面积的和为：
∵底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，∴
即：与的函数关系式为：；
②∵该农户预算不超过千元，即y≤3.5∴∴，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，，
因此，该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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