高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精品测试题

6.2.3　向量的数乘运算

课后篇巩固提升

基础巩固

1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则(　　)

A.=2 B.=4

C.=2 D.=4

答案A

解析由已知得=2,所以=2.

2.如图,在矩形ABCD中,点E为CD的中点,那么向量等于 (　　)

A. B. C. D.

答案A

解析∵E为CD的中点,∴,

则.

3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则 (　　)

A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线

答案A

解析∵向量=2a+4b,=a+2b,

∴=2,即点A,B,D三点共线.

4.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的(　　)

A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

答案D

解析设D为BC中点,则=2,

∴=2λ,即点P在中线AD上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.

5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　. 

答案梯形

解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.

6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为　　　　　. 

答案-

解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),

即a+λb=kb-3ka,∴解得λ=-.

7.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.

证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,

∴.∴.

同理可证明.∴=-.

∴共线,又有公共点A.

∴M,A,N三点共线.

8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);

(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.

解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.

∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.

(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.

与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b.

∴y=3x-b=3-b=a-b.

能力提升

1.已知O是△ABC所在平面上的一点,若=0,则点O是△ABC的(　　)

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

答案C

解析作BD∥OC,CD∥OB,连接OD,OD与BC相交于点G,则BG=CG(平行四边形对角线互相平分),

∴,

又=0,可得=-,∴=-,

∴A,O,G在一条直线上,可得AG是BC边上的中线,同理,BO,CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.

2.在△ABC中,O为其内部一点,且满足+3=0,则△AOB和△AOC的面积比是(　　)

A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3

答案D

解析取AC中点M,则由+3=0,得2=-3,所以2|OM|=3|OB|,O在线段BM上,因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1∶3.

3.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　. 

答案

解析由平面向量的加法运算,有.

因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ

=.

所以,

即解得故λ+μ=.

4.在△ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.

解∵,

∴3=2,即2-2.

∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.

∵A,M,Q三点共线,

∴设=x+(1-x)+(x-1),

又,∴.

又,且=t,

∴=t.

∴解得t=.

5.已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.

(1)用向量a与b表示向量;

(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.

解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,

∴=-a.

∴=-a-b.

(2)假设存在实数λ,使=λ.

∵=a+b+(-b)=a+b,

)

=2a+(-a+b)=a+b,

∴a+b=λ,

∴此方程组无解,

∴不存在实数λ,满足=λ.

∴C,D,E三点不共线.