高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用优秀第2课时课后作业题

这是一份高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用优秀第2课时课后作业题，共5页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

课后篇巩固提升


基础巩固


1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )





A.46B.45C.43D.223


答案A


解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=75°,


∴A=180°-B-C=45°.


由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=8sin60°sin45°=46.故选A.


2.在△ABC中,若a=3,b=3,A=π3,则角C的大小为( )


A.π6B.π4C.π3D.π2


答案D


解析由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=3sinπ33=12.因为a>b,所以A>B,所以B=π6,所以C=π-π3-π6=π2.


3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cs∠ABC等于( )


A.35B.±35C.-35D.±25


答案B


解析由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cs∠ABC=±35.


4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cs A=34,则ca的值为( )


A.2B.12C.32D.1


答案C


解析由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcsAsinA=2cs A=2×34=32.


5.





某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要( )


A.450a元B.225a元


C.150a元D.300a元


答案C


解析由已知可求得草皮的面积为S=12×20×30sin 150°=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.


6.在△ABC中,若b=2asin B,则A等于( )


A.30°或60°B.45°或60°


C.120°或60°D.30°或150°


答案D


解析由正弦定理,得asinA=bsinB.


∵b=2asin B,∴sin B=2sin Asin B.


∵sin B≠0,∴sin A=12.∴A=30°或150°.


7.已知△ABC外接圆的半径为1,则sin A∶BC=( )


A.1∶1B.2∶1


C.1∶2D.无法确定


答案C


解析由正弦定理,得BCsinA=2R=2,


所以sin A∶BC=1∶2.


8.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是( )


A.锐角三角形B.直角三角形


C.钝角三角形D.等腰三角形


答案B


解析由已知,得asinA=b=bsinB,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形.


9.在△ABC中,sinAsinB=32,则a+bb的值为 .


答案52


解析由正弦定理,得a+bb=ab+1=sinAsinB+1=32+1=52.


10.在△ABC中,B=45°,C =60°,c=1,则最短边的长等于 .


答案63


解析由三角形内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理bsinB=csinC,得b=csinBsinC=1×2232=63.


11.在△ABC中,ab=60,S△ABC=153,△ABC的外接圆半径为3,则边c的长为 .


答案3


解析∵S△ABC=12absin C=153,ab=60,∴sin C=32.由正弦定理,得csinC=2R,则c=2Rsin C=3.


12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acs C+32c=b.


(1)求角A的大小;


(2)若a=1,b=3,求c的值.


解(1)由acs C+32c=b和正弦定理,得sin Acs C+32sin C=sin B.


∵sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,


∴32sin C=cs Asin C.∵sin C≠0,∴cs A=32.


∵0

(2)由正弦定理,得sin B=bsinAa=3sinπ61=32.


∴B=π3或2π3.


①当B=π3时,由A=π6,得C=π2,∴c=2.


②当B=2π3时,由A=π6,得C=π6,∴c=a=1.


综上可得,c=1或c=2.


13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=37a.


(1)求sin C的值;


(2)当a=7时,求△ABC的面积.


解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=37a,所以由正弦定理,得sin C=csinAa=37×32=3314.


(2)因为a=7,所以c=37×7=3.


由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=12bcsin A=12×8×3×32=63.


能力提升


1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acs C=4csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为( )


A.233B.253C.263D.283


答案B


解析由3acs C=4csin A,得asinA=4c3csC.又由正弦定理asinA=csinC,得csinC=4c3csC,∴tan C=34,∴sin C=35.又S=12bcsin A=10,b=4,∴csin A=5.根据正弦定理,得a=csinAsinC=535=253,故选B.


2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b=2,sin B+cs B=2,则角A的大小为 .


答案30°


解析由sin B+cs B=2,得1+sin 2B=2,所以sin 2B=1,所以B=45°.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=2sin45°2=12.又a

3.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.


分析先将tan B,tan A化为弦函数,再根据正弦定理的变形将边化为角,最后通过三角恒等变换进行判断.


解由已知,得a2·sinBcsB=b2·sinAcsA.又由正弦定理,得sin2 A·sinBcsB=sin2 B·sinAcsA,即sinAcsB=sinBcsA,所以sin Acs A=sin Bcs B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.


4.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.


解由正弦定理,得a2-c2=(2a-b)b,


即a2+b2-c2=2ab.


由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=2ab2ab=22.


∵C∈(0,π),∴C=π4.


∴S=12absin C=12×2Rsin A·2Rsin B·22


=2R2sin Asin B=2R2sinA22csA+22sinA


=R2(sin Acs A+sin2A)


=R212sin2A+1-cs2A2


=R222sin2A-π4+12.


∵A∈0,34π.∴2A-π4∈-π4,54π,


∴sin2A-π4∈-22,1,∴S∈0,2+12R2,


∴△ABC面积的最大值为2+12R2.