2019年吉林省长春市中考数学试卷

这是一份2019年吉林省长春市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A． B．9 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算：3﹣＝　 　．
10．（3分）分解因式：ab+2b＝　 　．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是　 　．
12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为　 　度．

13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　 　．

三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求的长．（结果保留π）

19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：
3
2.5
0.6
1.5
1
2
2
3.3
2.5
1.8
2.5
2.2
3.5
4
1.5
2.5
3.1
2.8
3.3
2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间x（时）
0＜x≤1
1＜x≤2
2＜x≤3
3＜x≤4
人数
2
5
8
5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
2.4
m
n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数m的值为　 　，众数n的值为　 　．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．

21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为　 　千米/时，a＝　 　，b＝　 　．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为　 　．
（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为　 　．


23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①AB的长为　 　；
②PN的长用含t的代数式表示为　 　．
（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．

24．（12分）已知函数y＝（n为常数）
（1）当n＝5，
①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．

2019年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】13：数轴．菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2
【考点】C6：解一元一次不等式．菁优网版权所有
【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为1得：x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，
故BC＝3sinα（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】N3：作图—复杂作图．菁优网版权所有
【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．
【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A． B．9 C． D．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故选：D．

【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）计算：3﹣＝　2　．
【考点】78：二次根式的加减法．菁优网版权所有
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
10．（3分）分解因式：ab+2b＝　b（a+2）　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．
【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．
故答案为：b（a+2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是　5　．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△＝b2﹣4ac．
12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为　57　度．

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB＝∠ABD＝33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．
故答案为：57．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．
13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为　4+2　．

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴AE＝AD＝6，
∴EB＝AB﹣AE＝2，
由题意得，四边形EFCB为矩形，
∴FC＝ED＝2，
∵AB∥FC，
∴∠GFC＝∠A＝45°，
∴GC＝FC＝2，
由勾股定理得，GF＝＝2，
则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，
故答案为：4+2．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　2　．

【考点】FF：两条直线相交或平行问题；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1
∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）
将点P（1，）代入得＝k
∴y＝（）x
将点B（4，）代入得＝（）×4
解得a＝2
故答案为：2．
【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a
＝8a+1，
当a＝时，原式＝8a+1＝2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，
∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：﹣＝5，解方程即可．
【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，
由题意得：﹣＝5，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．
18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求的长．（结果保留π）

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．菁优网版权所有
【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．

【点评】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：
3
2.5
0.6
1.5
1
2
2
3.3
2.5
1.8
2.5
2.2
3.5
4
1.5
2.5
3.1
2.8
3.3
2.4
整理上面的数据，得到表格如下：
网上学习时间x（时）
0＜x≤1
1＜x≤2
2＜x≤3
3＜x≤4
人数
2
5
8
5
样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
统计量
平均数
中位数
众数
数值
2.4
m
n
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中的中位数m的值为　2.5　，众数n的值为　2.5　．
（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．
（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；
（2）由平均数乘以18即可；
（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．
【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，
∴中位数m的值为＝2.5，众数n为2.5；
故答案为：2.5，2.5；
（2）2.4×18＝43.2（小时），
答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．
（3）200×＝130（人），
答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．
【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．
20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．
（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．
（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．

【考点】K3：三角形的面积；N4：作图—应用与设计作图．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）直接利用三角形面积求法得出答案；
（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；
（2）如图②所示，△CDN即为所求；
（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；

【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为　75　千米/时，a＝　3.6　，b＝　4.5　．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案为：75；3.6；4.5；

（2）60×3.6＝216（千米），
当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：
，解得，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，
∴；

（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．
答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程．
22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为　　．
（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为　6　．


【考点】K5：三角形的重心；KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；
结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；
（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．
【解答】教材呈现：
证明：如图①，连结ED．
∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，
∴＝＝3，
∴＝＝；

结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，
∴BF＝DF，
∴BF＝BD，
∵BO＝BD，
∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6，
∴OF＝．
故答案为；

（2）解：如图③，连接OE．
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，
∴＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，
∴△BOC的面积＝，
∴▱ABCD的面积＝4×＝6．
故答案为6．

【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的重心，平行四边形、正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①AB的长为　25　；
②PN的长用含t的代数式表示为　3t　．
（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．

【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．
（2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝＝＝25．
∴，
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP•sin∠CAB＝＝3t．
故答案为：①25；②3t．
（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴，
解得t＝，
即当▱PQMN为矩形时t＝．

（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cosA＝sinB＝，cosB＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP•cosA＝4t，BG＝BQ•cosB＝9﹣3t，QG＝BQ•sinB＝12﹣4t，
∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t．
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，
▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．
综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．

（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN•cot∠PKN＝3t＝，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝，HR＝，
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝．
∴KH＝HR•cot∠HKR＝＝，
∵NK+KH＝NH，
∴，
解得：t＝，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
∴HQ＝QR•sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝，解得t＝．
综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点，




【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
24．（12分）已知函数y＝（n为常数）
（1）当n＝5，
①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；故函数的最大值为；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n＝，所以＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y＝﹣x2+x+中，得到n＝2，n＝，
所以2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞，①当x＝时，y＝﹣++＝+＝4时，n＝4或n＝﹣8（舍去），得n＝4；
②当x＝n时，y＝﹣++≥4，得n≥8；
n＜0时，n＜，③当x＝n时，y＝﹣++≤﹣4，得n≤﹣4，得n≤﹣8；
④当﹣x2+nx+n＝4有唯一解时，n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍去），得n＝﹣2﹣2．
【解答】解：（1）当n＝5时，
y＝，
①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，
∴b＝；
②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；
当x＜5时，当x＝时有最大值为；
∴函数的最大值为；
（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝，
∴＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；
将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，
∴n＝2，
将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，
∴n＝，
∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；
综上所述：＜n≤4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；
（3）n＞0时，n＞，
①当x＝n时，y＝n2+n2+n＝n，
当x＝时，y＝﹣++＝+，
当+＝4时，n＝4或n＝﹣8（舍去），
∴n＝4；
②当x＝n时，y＝﹣++，
当≥4，
∴n≥8；
n＜0时，n＜，
③当x＝n时，y＝﹣++，
当≤﹣4，n≤﹣4，此时y＝﹣x2+nx+n到x轴距离是4的点由4个，
∴n≤﹣8；
④当﹣x2+nx+n＝4有唯一解时，n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍去）
∴n＝﹣2﹣2；
∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≥8或n＝4或n≤﹣8或n＝﹣2﹣2；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据给出的分段函数画出函数图象，数形结合解决问题时关键．
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日期：2019/7/29 11:45:26；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509