中考数学几何模型加强版 模型04 等腰直角三角形构造三垂直模型

专题04 等腰直角三角形构造三垂直模型

一、解答题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．

（1）求k值与一次函数y＝k1x＋b的解析式；

（2）在x轴上有一动点P，求当PB+PC最小时P点坐标．

（3）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标；

2．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．

3．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：

（1）求证：△ADC≌△CEB；

（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）

4．已知，A（-1，0）．

（1）如图1，B（0，2），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．

①求C点的坐标；

②在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合）， 使△PAB与△ABC全等？ 若存在，直接写出P点坐标； 若不存在，请说明理由；

（2）如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△AEM，设M（a，b），求a-b的值．

5．公路上，，两站相距千米，、为两所学校，于点，于点，如图，已知千米，现在要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且，问：应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？

6．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．

（1）求证：BC=BD；

（2）若BD=10厘米，求AC的长．

7．综合与实践

特例研究：

将矩形和按如图1放置，已知，连接．

如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__              ；直线与直线之间的位置关系是_               ；

拓广探索：

图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．

8．已知：在中，∠BAC=90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m于点D，CE⊥直线m于点E．求证：；

9．（提出问题）如图1，在直角中，∠BAC=90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为          

（探究问题）如图2，在直角中，∠BAC=90°，AB=AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．

（解决问题）如图3，在中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、N．

①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；

②若AC=3，BC=4，五边形EMNFC面积的最大值为         

10．如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE＝CF，求证：∠ACB＝90°．

11．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．

（1）求证：MN＝AM＋BN；

（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．

12．在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴、轴于点，函数的图象分别交轴、轴于点，且，过点作射线轴．

（1）求直线的解析式；

（2）点自点沿射线以每秒个单位长度运动，同时点自点沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设的面积为，点的运动时间为（秒），求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点作，交轴于点，连接，在运动的过程中，是否存在值，使得，若存在，求值：若不存在，请说明理由．

13．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，c），且a、b、c满足=0．

（1）求点A、C的坐标；

（2）在x轴正半轴上有一点E，使∠ECA＝45°，求点E的坐标；

（3）如图2，若点F、B分别在轴正半轴和轴正半轴上，且OB=OF，点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN=PF，连接PO、BN，过P作∠OPG=45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点．

14．在平面直角坐标系中，已知点、满足

（1）直接写出：____________，________．

（2）点为轴正半轴上一点，如图1，于点，交轴于点，连接，若平分，求直线的解析式．

（3）在（2）的条件下，点为直线上一动点，连，将线段绕点逆时针旋转，如图2，点的对应点为，当点运动时，判断点的运动路线是什么图形，并说明理由．

15．如图，将Rt△ABC的斜边BC绕点B顺时针旋转90°得边BD，过点D作AB的垂线，交AB延长线于点E，求证：△EDB≌△ABC．

16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．

17．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系并加以证明；

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

18．如图，在中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）求证：；

（2）若AD=2，BE=3，求的面积．

二、填空题

19．一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，从三角尺的刻度可知为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为____________．

20．如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(2，0)，点C是第一象限内的点，且△ABC是以AB为直角边，满足AB=AC，则点C的坐标为________．

21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B． C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、 E，若BD=4，CE=2，则DE=___．

22．如图，直线经过正方形的顶点，已知于点，于点．若，，则线段的长为______．

23．如图，AO⊥OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．