初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教案

这是一份初中数学华师大版九年级下册26.3 实践与探索教案，共9页。教案主要包含了知识与能力，过程与方法，情感态度价值观，教学重点，教学难点，课堂引入，应用举例，拓展提升等内容，欢迎下载使用。

【知识与能力】
1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
2.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解、一元二次不等式的解集。
【过程与方法】
能够从函数表达式的角度分析二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程、不等式之间的关系。
【情感态度价值观】
通过观察二次函数的图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想。
教学重难点
【教学重点】
利用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集。
【教学难点】
理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，渗透数形结合思想是教学的难点。
课前准备
多媒体
教学过程
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
(展示问题)
1.一元二次方程的一般形式是________，其根的判别式是__________，求根公式是________.
2.二次函数的一般形式是__________，其图象的顶点坐标是______________.
3.抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是__________，开口方向____________，顶点坐标是____________.
4.抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点坐标为____________.
5.已知抛物线与x轴的交点为点(－1，0)，(1，0)，并经过点(0，1)，则抛物线的函数表达式为__________.
师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结．
通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识，巩固以前所学，为本节课学好新知做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
图26－3－55
问题：如图26－3－55所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h＝20t－5t2.考虑以下问题
(1)球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多少时间？
(2)球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多少时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
师生活动：教师进行引导，飞行高度h与飞行时间t的函数表达式为h＝20t－5t2，所以将h的值代入函数表达式，得到关于t的一元二次方程即可求解.
让学生以小组为单位自学、讨论、合作、交流，尝试解决问题，教师巡视指导．
以小球飞行问题寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动中创设情境，激发学生的学习热情.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 二次函数与一元二次方程的关系
教师活动：针对课堂引入的问题进行探究，教师总结解题过程：
(1)解方程15＝20t－5t2，t2－4t＋3＝0，得t1＝1，t2＝3.
所以当球飞行1 s或3 s时，它的高度为15 m.
(2)解方程20＝20t－5t2，t2－4t＋4＝0，得t1＝t2＝2.
当球飞行2 s时，它的高度为20 m.
(3)解方程20.5＝20t－5t2，t2－4t＋4.1＝0.
因为16－4×4.1<0，所以方程无解，球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)解方程0＝20t－5t2，t2－4t＝0，得t1＝0，t2＝4.
所以，球从飞出到落地要用4 s.
画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案．
问题提示：
(1)教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；
(2)教师巡视指导，与学生合作、交流；
(3)教师引导学生观察函数图象，体会问题答案；
(4)学生小组讨论、交流、总结二次函数与一元二次方程的关系．
教师总结：把函数值代入函数表达式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值． 小结：一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根存在的情况，规律如下：
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点⇔b2－4ac>0⇔关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
(2)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有一个交点⇔b2－4ac＝0⇔关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点⇔b2－4ac<0⇔关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．
【探究2】 二次函数与一元二次方程的近似根的情况
思考：
已知①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1.
以上二次函数的图象与x 图26－3－56
轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
(2)当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
利用函数图象解决一元二次方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合带来的方便．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
师生活动：教师展示二次函数的图象，学生观察图象，展开讨论，回答问题．
(1)抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1.
(2)抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝3.
(3)抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．
教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
归纳总结：
通过以上学生间、师生间的观察、交流、讨论，进行总结：
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．
【探究3】 二次函数与一元二次不等式的关系
试一试：根据教材第28页“问题3”回答下列问题：
(1)当x取何值时，y<0？当x取何值时，y>0?
(2)试用含有x的不等式来描述问题(1)．
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？
教师引导学生分析二次函数学习中的有关问题，并和学生一起获得正确答案，由此得出规律如下：
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点的横坐标就是关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴下方的点的横坐标就是不等式ax2＋bx＋c<0的解集．
使学生掌握通过函数图象判断方程的根的情况，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中．
得出一元二次不等式与二次函数的关系，让学生学会利用图象法解一元二次不等式.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．
师生活动：教师引导学生作出函数图象，或求出抛物线与x轴的交点坐标，学生进行计算．
图26－3－57
活动
三：
开放
训练
体现
应用
解：作y＝x2－2x－2的图象，
它与x轴的公共点的横坐标大约是x＝－0.7或x＝2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.
播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0的实数根的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异．
例2 同学们在一起探讨研究下面的题目：
函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图26－3－58所示，如果x＝a时，y<0；那么x＝a－1时，函数值为( )
图26－3－58
甲同学说：我注意到当x＝0时，y＝m＞0.
乙同学说：我发现函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,2).
丙同学说：我判断出x1丁同学说：我认为关键要判断a－1的符号．
参考上面同学们的讨论，你认为该题应选择的答案是(C)
A．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m
变式训练
1．已知抛物线y＝x2－2x＋m＋1与x轴有两个不同的交点，则函数y＝eq \f(m,x)的大致图象是(D)
图26－3－59
2．如果二次函数y＝x2＋(k＋2)x＋k＋5的图象与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么k的取值范围为(B)
A．k＞4或k＜－5 B．－5＜k＜－4
C．k≥－4或k≤－5 D．－5≤k≤－4
应用举例使学生深刻体会数学知识的应用价值，由此提高学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
3.已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋2＝0的一个根为x＝3.
(1)求q关于p的函数表达式；
(2)求证：抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个不同的交点；
(3)设抛物线y＝x2＋px＋q与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＋x2－5x1x2＋1＝0，求抛物线的函数表达式．
解：(1)把x＝3代入得q＋3p＋q＋2＝0，∴q＝－3p－11.
(2)证明：∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的判别式Δ＝p2－4q，由(1)得q＝－3p－11，∴Δ＝p2＋4(3p＋11)＝p2＋12p＋44＝(p＋6)2＋8＞0，∴一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点．
(3)∵x1，x2是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根，∴x1＋x2＝－p，x1x2＝q，∵x1＋x2－5x1x2＋1＝0，∴－p－5q＋1＝0，由(1)得q＝－3p－11，解得p＝－4，q＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3.
【拓展提升】
例3 如图26－3－60，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
图26－3－60
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，所以二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3.当x＝0时，y＝4－1＝3，所以点C的坐标为(0，3)，由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2，
所以点B的坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)的坐标代入y＝kx＋b，
所以一次函数表达式为y＝x－1.
(2)当kx＋b≥(x－2)2＋m时，1≤x≤4.
师生活动：学生自主解答后，教师进行讲解，学生再次审题，完成对题目的重新整理．
拓展提升不仅及时巩固所学知识，了解学生的学习状况，还增强了学生应用知识的能力.
活动
四：
课堂
教学
反思
【达标测评】
1．如图26－3－61，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是__x1＝0，x2＝2__．
图26－3－61
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的值永远为负值的条件是(D)
A．a>0，b2－4ac<0 B．a<0，b2－4ac>0
C．a>0，b2－4ac>0 D．a<0，b2－4ac<0
3．[孝感中考] 抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，2)，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图26－3－62，则以下结论：
①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根，其中正确的结论有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

图26－3－62 图26－3－63 图26－3－64
4.如图26－3－63，直线y＝x与抛物线y＝x2－x－3交于A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PQ⊥x轴，交直线y＝x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是(B)
A．x＜－1或x＞eq \f(1,2) B．x＜－1或eq \f(1,2)＜x＜3
C．x＜－1或x＞3 D．x＜－1或1＜x＜3
5．如图26－3－64，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象过点A(－1，0)，对称轴为过点(1，0)且与y轴平行的直线．
(1)求点B的坐标；
(2)求该二次函数的表达式；
(3)结合图象，解答下列问题：
①当x取什么值时，该函数的图象在x轴上方？
②当－1＜x＜2时，求函数y的取值范围．
[答案：(1)B(3.0) (2)y＝－x2＋2x＋3 (3)①－1＜x＜3 ②0＜y≤4]
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂小结】
谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？还有哪些困惑？
教师总结：抛物线与x轴的交点问题有三种情况：两个交点、一个交点、没有交点，主要判定方法是通过计算根的判别式进行确定，借助二次函数图象求一元二次不等式的解集．
布置作业：教材P30习题26.3第3，4题．
让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系；课堂训练环节中，教师给予学生自主解答问题的时间，教师做好点评．
②[讲授效果反思]
教师引导学生注意以下几点：(1)抛物线与坐标轴交点的求法，即求y＝0时x的值；(2)抛物线与x轴交点个数可通过计算“Δ”的值进行判断；(3)运用图象法求一元二次不等式的解集．
③[师生互动反思]
教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的关系．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.