初中数学湘教版九年级下册1.5 二次函数的应用教案及反思

1.5二次函数的应用（1）

教学目标

1.会分析实际问题中的数量关系和变化规律，能建立二次函数模型来解决简单的实际问题。

2.体会数形结合在解决实际问题中的作用。

3.经历函数建模的过程，体会函数建模的方法和思想，提高学生的应用意识。

教学重点、难点

重点：从实际问题中抽象出数量关系，确定二次函数的表达式。]

难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型，理解自变量取值范围的限制。

教学设计

一.预习导学

1. 二次函数的有哪几种常见的形式？

2. 这几种二次函数的图象有什么性质？

①开口方向

②对称轴

③顶点坐标

设计意图：回顾二次函数的几种常见形式及其性质，使学生心中有数，以便在实际问题中建立函数模型时，能够有效地选择最简便的函数模型。

二、探究展示

（一）合作探究

一座拱桥的纵截面是抛物线的一段（图见课本29页的“图1-18”），拱桥的跨度是4.9m，水面宽4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能建立函数模型来解决这个问题吗？

分析：拱桥的纵截面是抛物线的一部分，抛物线是二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来解决这个问题。

二次函数常见的有几种形式，其中以最为简单，的图象对称轴是y轴，顶点为原点。因此可以拱顶为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，则此抛物线的形式为。

由水面宽4米时，拱顶离水面高2m ，可以知道，抛物线过点A(2，-2)。

解：以拱顶为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，设，可得：

因此这个函数的表达式是                            

其中|x|是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数。

由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45.

这样我们可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化。

想一想，当水面宽4.6m时，拱顶离水面几米？

解：

∴ 当水面宽度为4.6m时，拱顶离水面高2.645米。

（二）展示提升

     如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索 桥两端主塔高150m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式。

解：如图，以悬索桥的中心点为原点，抛物线形桥的对称轴为y轴建立直角坐标系。

可设该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为 . [来源

又可知此抛物线过点(450，150)，所以有

解得

所以该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为 其中

三.知识梳理

以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获。[

建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤

四.当堂检测

如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分已知拱高OA为1m，栅栏的跨径BC间有5根间距为0.5m的立柱。试建立适当的直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应的二次函数表达式，并求出立柱DE的高度。

五.教学反思

本堂课呈现的是几道比较经典的函数建模问题，它需要先建立适当的直角坐标系，建立函数模型，通过待定系数法确定二次函数的表达式，最后利用二次函数的性质解决实际问题（其中需要根据实际问题的背景确定自变量的聚会范围）。老师要结合实例，清晰地展示函数建模的步骤，让学生体会函数建模的方法，感受数学应用的价值。