专题14 反比例函数（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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 专题14 反比例函数
【知识要点】
知识点一 反比例函数的基础
反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠o）的函数称为反比例函数。
表现形式：y=kx还可以写成y=kx-1 和 xy= k 的形式
【注意】反比例函数y=kx的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
反比例函数解析式的特征:
1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.
2.比例系数k≠0
3.自变量x的取值为一切非零实数。
4.函数y的取值是一切非零实数。
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：
1） 设反比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0）
2） 把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程。
3） 解方程求出k值
4） 将k值代入所设解析式中。
知识点二 反比例函数的图像和性质（基础）
图像的画法：描点法
1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2.描点（由小到大的顺序）
3.连线（从左到右光滑的曲线）
图像的特征：
1.函数的图像是双曲线．
2.图像的对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线y = x或y= -x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：
|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．
反比例函数的性质：
k的取值
图像所在象限
函数的增减性
k>0
一、三象限
在每个象限内，y值随x的增大而减小
k>0
二、四象限
在每个象限内，y值随x的增大而增大
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论
知识点三 k值的意义（难点）
1）设点P（a，b）是双曲线上y=kx任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是k2）．

2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．

知识点四 用反比例函数解决实际问题
解题步骤：
1.根据题意找等量关系。
2.列出方程，并注明自变量的取值范围。
3.解方程
4.写方程
【考查题型】

考查题型一 反比例的定义
【解题思路】熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
典例1．（2020·湖南长沙市·中考真题）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】由总量=vt，求出v即可．
【详解】解（1）∵vt=106，∴v=，故选：A．
变式1-1．（2020·湖南衡阳市·中考真题）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【提示】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一提示即可．
【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
变式1-2．（2020·四川中考真题）已知函数，当函数值为3时，自变量x的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣2或﹣ D．﹣2或﹣
【答案】A
【提示】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．
【详解】解：若x＜2，当y=3时，﹣x+1=3，
解得：x=﹣2；
若x≥2，当y=3时，﹣=3，
解得：x=﹣，不合题意舍去；
∴x=﹣2，
故选：A．
变式1-3．（2020·海南中考真题）下列各点中，在反比例函数图象上的是
A．（－1，8） B．（－2，4） C．（1，7） D．（2，4）
【答案】D
【提示】由于反比例函数y=中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．
【详解】解：A、∵-1×8=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵-2×4=-8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；
D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．
故选D．
考查题型二 考查反比例函数图象相关知识
【解题思路】掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
典例2．（2020·山东威海市·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，
故选：D．
变式2-1．（2020·山西中考真题）已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【详解】解： 反比例函数，
反比例函数图像在第二、四象限，

观察图像：当时，
则．
故选A．
变式2-2．（2020·青海中考真题）若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】由，得异号，若图象中得到的异号则成立，否则不成立．
【详解】A. 由图象可知：，故A错误；
B. 由图象可知：，故B正确；
C. 由图象可知：，但正比例函数图象未过原点，故C错误；
D. 由图象可知：，故D错误；
故选：B．
考查题型三 反比例函数的性质
典例3．（2020·天津中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．故选：C．
变式3-1．（2020·浙江金华市·中考真题）已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【答案】C
【提示】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则，．
【详解】解：，
函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，
，
，，
．
故选：．
变式3-2．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意；
观察图像②可得，所以，②不符合题意；
观察图像③可得，所以，③不符合题意；
观察图像④可得，所以，④符合题意；
综上，其中符合的是①④，
故答案为：B．
变式3-3．（2020·辽宁营口市·中考真题）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【提示】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0，∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
变式3-5．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一交点坐标为
C．正比例函数与反比例函数都随x的增大而增大
D．当或时，
【答案】D
【提示】根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式和，可判断A错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，D正确，即可选出答案．
【详解】
解：根据正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，即可设，，
将分别代入，求得，，
即正比例函数，反比例函数，故A错误；
另一个交点与关于原点对称，即，故B错误；
正比例函数随x的增大而减小，而反比例函数在第二、四象限的每一个象限内y均随x的增大而增大，故C错误；
根据图像性质，当或时，反比例函数均在正比例函数的下方，故D正确．
故选D．
考查题型四 求反比例函数解析式
【解题思路】求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
典例4．（2020·江苏无锡市·中考真题）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【提示】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【详解】解：由题意，把B（，m）代入，得m=
∴B（，）
∵点B为反比例函数与一次函数的交点，
∴k=x·y∴k=×=．
故选：C．
变式4-1．（2020·湖北孝感市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．
【详解】根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，
故设反比例函数解析式为I=，
将(6,8)代入函数解析式中，
解得k=48，
故I=
故选C．
变式4-2．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【提示】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
考查题型五 反比例函数比例系数k的几何意义
【解题思路】一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．也考查了矩形的性质．
典例5．（2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）

A． B．2 C．4 D．8
【答案】D
【提示】过点B作轴，易得，得到，即可求解k的值．
【详解】解：如图，过点B作轴，设，则，

∵轴，轴，
∴，
∴，
∵D为OB的中点，
∴，
∴，
即，解得，
∴k的值为8，
故选：D．
变式5-1．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【提示】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算．
【详解】解：如图，

连接OA、OB、PC．
∵AC⊥y轴，
∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1，
∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．
故选：A．
变式5-2．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【提示】作BD⊥BC交y轴于D，可证四边形ACBD是矩形，根据反比例函数k的几何意义求出矩形ACBD的面积，进而由矩形的性质可求的面积．
【详解】作BD⊥BC交y轴于D，
∵轴，，
∴四边形ACBD是矩形，
∴S矩形ACBD=6+2=8，
∴的面积为4．
故选B．

变式5-3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　）

A． B． C．3 D．4
【答案】D
【提示】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．
【详解】点A的坐标为（m，2n），
∴，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
变式5-4．（2020·山东滨州市·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【提示】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故选：C．

考查题型六 反比例函数与一次函数综合
【解题思路】考查二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
典例6．（2020·新疆中考真题）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【提示】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
反比例函数图象在第一、三象限，
∴只有D选项的图像符合题意；
故选：D．
变式6-1．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【详解】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，
∴．
故选：C．
变式6-2．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）

A． B．或
B． C． D．或
【答案】D
【提示】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
变式6-3．（2020·宁夏中考真题）如图，函数与函数的图象相交于点．若，则x的取值范围是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【提示】根据图象可知函数与函数的图象相交于点M、N，若，即观察直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围．
【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的x的取值范围为或，故本题答案为：或．

故选：D
考查题型七 实际问题与反比例函数
典例7．（2020·云南昆明市·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

【答案】（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【提示】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得．
【详解】
（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和
则解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和；
（2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要
当时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点代入得：，解得
则反比例函数表达式为
当时，
故一班学生能安全进入教室．
变式7-1．（2020·广西玉林市·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0