中考数学专题复习 第十七讲 矩形、菱形、正方形测试题(含解析)

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命题点1 矩形的相关证明与计算
1．(2019株洲)对于任意的矩形，下列说法一定正确的是( )
A. 对角线垂直且相等
B. 四边都互相垂直
C. 四个角都相等
D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
2．(2019临沂)如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA.添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A. OM＝eq \f(1,2)AC B. MB＝MO C. BD⊥AC D. ∠AMB＝∠CND
第2题图
3．(2019徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若MN＝4，则AC的长为________．

第3题图
4．如图，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝________．
第4题图
5．(2019江西3分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.
求证：四边形ABCD是矩形．
第5题图
6．(2019怀化10分)如图，在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
第6题图
命题点2 菱形的相关证明与计算
7．(2019河北)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝( )
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
第7题图

8．(2019绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( )
A. (2，eq \r(3)) B. (eq \r(3)，2) C. (eq \r(3)，3) D. (3，eq \r(3))

第8题图
9．(2019永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为( )
A. 40 B. 24 C. 20 D. 15

第9题图
10．(2019十堰)如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为________．
第10题图
11．(2019广西北部湾经济区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________．

第11题图
12．(2019衢州6分)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.
求证：AE＝AF.
第12题图
13．(2019北京5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF；
(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝eq \f(1,2)，求AO的长．
第13题图
命题点3 正方形的相关证明与计算
14．(2019毕节)如图，点E在正方形ABCD边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为( )
A. eq \r(3) B. 3 C. eq \r(5) D. 5
第14题图
15．(2018乐山)如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE的度数是________度．

第15题图
16．(2019扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．
第16题图
17．(2019张家界)如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝________．

第17题图
18．(2019黄冈6分)如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
第18题图
19．(2019长沙8分)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
第19题图
第十七讲 矩形、菱形、正方形
命题点分类集训
1．C 2.A 3.16 4.40°
5．证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴OA＝eq \f(1,2)AC，OD＝eq \f(1,2)BD.
又∵OA＝OD，∴AC＝BD.
∴□ABCD是矩形．··········(3分)
6．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE＝CF.
∴△ABE≌△CDF(HL)．··········(4分)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE∥CF，由(1)得AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.·········· (10分)
7．D
8. D 【解析】如解图，过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，∴∠AOE＝eq \f(1,2)∠AOC＝30°，AC⊥OB，△AOC为等边三角形．∴∠FAE＝60°.∵A(4，0)，∴OA＝4.∴AE＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×4＝2.∴AF＝eq \f(1,2)AE＝1.∴EF＝eq \r(AE2－AF2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).∴OF＝AO－AF＝4－1＝3.∴E(3，eq \r(3))．
第8题解图
9．B 10.24 11.4.8
12．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.··········(2分)
∵BE＝DF，(3分)
∴△ABE≌△ADF(SAS)．··········(5分)
∴AE＝AF.··········(6分)
13．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，BE＝DF，
∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.
∴△AEF是等腰三角形．
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴AC⊥EF.··········(2分)
(2)解：由题意作解图如下，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×4＝2.
∴∠G＝∠AEG.
由(1)知EF⊥AC.
第13题解图
又∵BD⊥AC，
∴EF∥BD.
∴∠AEG＝∠ABO.
∴∠G＝∠ABO.
∵tanG＝eq \f(1,2)，
∴tan∠ABO＝eq \f(AO,OB)＝eq \f(1,2).
∴AO＝OB·tan∠ABO＝2×eq \f(1,2)＝1.··········(5分)
14．B 15.22.5 16.eq \f(13,2) 17.2
18．证明：∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠DGA＝AFB＝90°，∠ABF＋∠FAB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAB＋∠DAG＝90°，AB＝AD.
∴∠DAG＝∠ABF.··········(2分)
在△DAG和△ABF中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DGA＝∠AFB，,∠DAG＝∠ABF，,AD＝BA，))
∴△DAG≌△ABF(AAS)．··········(4分)
∴AF＝DG, BF＝AG.
∴FG＝AG－AF＝BF－DG.
∴BF－DG＝FG.··········(6分)
19．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°.
又∵DE＝CF，
∴AD－DE＝DC－CF，即AE＝DF.
在△ABE与△DAF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BA＝AD，,∠BAE＝∠ADF，,AE＝DF，))
∴△ABE≌△DAF(SAS) .
∴BE＝AF.··········(4分)
(2)解：∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝4－1＝3.
∴BE＝eq \r(AB2＋AE2)＝eq \r(42＋32)＝5.
由(1)知，∠EBA＝∠FAD，
∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，
即∠AGE＝90°＝∠BAE.
∴△AGE∽△BAE.
∴eq \f(AG,BA)＝eq \f(AE,BE)，即eq \f(AG,4)＝eq \f(3,5)，解得AG＝eq \f(12,5).··········(8分)