中考数学专题复习 数学文化专题测试题(含解析)

这是一份中考数学专题复习 数学文化专题测试题(含解析)，共15页。试卷主要包含了《增删算法统宗》记载，《九章算术》中有这样一个题等内容，欢迎下载使用。
1．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数eq \r(2)，导致了第一次数学危机.eq \r(2)是无理数的证明如下：
假设eq \r(2)是有理数，那么它可以表示成eq \f(q,p)(p与q是互质的两个正整数)．于是(eq \f(q,p))2＝(eq \r(2))2＝2，所以，q2＝2p2.于是q2是偶数，进而q是偶数．从而可设q＝2m，所以(2m)2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“eq \r(2)是有理数”的假设不成立，所以，eq \r(2)是无理数．
这种证明“eq \r(2)是无理数”的方法是( )
A. 综合法 B. 反证法 C. 举反例法 D. 数学归纳法
2．(2019绍兴)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母m所表示的数是________．
第2题图
类型二 古代数学著作的相关理解和应用
考向1 代数类应用问题
3．(2019福建)《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：“有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？”已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是( )
A．x＋2x＋4x＝34685 B．x＋2x＋3x＝34685
C．x＋2x＋2x＝34685 D．x＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4)x＝34685
4．(2018舟山)中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为( )
A. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝38,3x＋5y＝48)) B. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4y＋6x＝48,3y＋5x＝38)) C. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝48,5x＋3y＝38)) D. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋6y＝48,3x＋5y＝38))
5．(2019重庆A卷)《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其eq \f(2,3)的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为
( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y＝50,\f(2,3)x＋y＝50)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)y＝50,x＋\f(2,3)y＝50)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y＝50,\f(2,3)x＋y＝50)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋y＝50,x＋\f(2,3)y＝50))
6．(2019德阳)《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地．去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈＝10尺)，现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 ( )
A. 5.45尺 B. 4.55尺 C. 5.8尺 D. 4.2尺
7．(2019金华)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是________．
第7题图
考向2 几何类应用问题
8．(2018长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )
第8题图
A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺
9．(2019江西)我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方正，邪(通“斜”)七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为eq \r(2)，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是________．
10．(2019广西北部湾经济区)《九章算术》作为古代第一部乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉，在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为________寸．
第10题图
11. (2018泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为________步．
第11题图
考向3 规律探索型问题
12．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的，如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)，经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15.
第12题图
依上述规律，解决下列问题：
(1)若s＝1，则a2＝________；
(2)若s＝2，则a0＋a1＋a2＋…a15＝________．
考向4 古代数学成果的直接应用
13．(2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是 ( )
A. eq \r(2) B. 2 C. eq \r(3) D. 4
第13题图
14．(2019宜昌)古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝eq \f(a＋b＋c,2)，那么三角形的面积为S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）).如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为 ( )
A. 6eq \r(6) B. 6eq \r(3) C. 18 D. eq \f(19,2)
第14题图
15．(2019宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积．则一定能求出( )
A. 直角三角形的面积
B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积
D. 最大正方形与直角三角形的面积和
第15题图
16．(2019温州)如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N.欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a＋b)(a－b)＝a2－b2.现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连接EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2.若点A，L，G在同一直线上，则eq \f(S1,S2)的值为( )
A. eq \f(\r(2),2) B. eq \f(\r(2),3) C. eq \f(\r(2),4) D. eq \f(\r(2),6)
第16题图
17．(2019湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为________平方米．

第17题图
18．(2019山西8分)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉(Lenhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理．下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2－2Rr.
如图①，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI＝d，则有d2＝R2－2Rr.
下面是该定理的证明过程(部分)：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI.∴eq \f(IM,IA)＝eq \f(ID,IN).∴IA·ID＝IM·IN.①
如图②，在图①(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF.
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°.
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°.∴∠DBE＝∠IFA.
∵∠BAD＝∠E(同弧所对的圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB.∴eq \f(IA,DE)＝eq \f(IF,BD).
∴IA·BD＝DE·IF.②
任务：(1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝________(用含R，d的代数式表示)；
(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)、(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为________ cm.
图① 图②
第18题图
类型三 赵爽弦图的应用
19.(2019咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是
( )
20．(2019绵阳)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ－csθ)2＝( )
A. eq \f(1,5) B. eq \f(\r(5),5) C. eq \f(3\r(5),5) D. eq \f(9,5)
第20题图
21．(2019邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是_____．

第21题图
类型四 “割圆术”的相关应用
22．(2019孝感)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S－S1＝________．(π取3.14)
第22题图
类型五 七巧板拼图
23．(2019苏州)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为________cm(结果保留根号)．
第23题图
(2019湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4eq \r(2)的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图②中的点E、G重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是________.
数学文化专题
1．B 2.4 3.A 4.D 5.A
6．B 【解析】设折断处离地面的距离为x尺，则折断处离尖端的距离为(10－x)尺，根据题意可得x2＋32＝(10－x)2，解得x＝4.55.
7．(32，4800) 【解析】根据题意可知过(12，0)这一点的函数是良马行走的函数图象即一次
函数，过原点O的是驽马行走的函数图象即正比例函数，因为“驽马日行一百五十里”，所以驽马行走的函数表达式为s＝150t.设良马行走的函数的表达式为s＝kt＋b，因为“驽马先行一十二日”，所以图象过点(12，0)，因为“良马日行二百四十里”，所以k＝240，将(12，0)代入s＝240t＋b中，可得函数表达式为s＝240t－2880.联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(s＝150t，,s＝240t－2880；))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝32，,s＝4800.))所以两图象交点P的坐标为(32，4800)．
8．B 9.eq \f(7,5) 10.26 11.eq \f(2000,3)
12．(1)105；(2)315
【解析】(1)我们可接着写杨辉三角：
第六行1 6 15 20 15 6 1；
第七行1 7 21 35 35 21 7 1；
第八行1 8 28 56 70 56 28 8 1；
第九行1 9 36 84 126 126 84 36 9 1，
我们比较奇数行可以发现：
第3行的第三个数的系数是3×1＝3；
第5行的第三个数的系数是5×2＝10；
第7行的第三个数的系数是7×3＝21；
第9行的第三个数的系数是9×4＝36；
因此第15行第三个数的系数是15×7＝105.
∴当S＝1时，a2＝105；
(2)若s＝2时，我们令x＝1，得到315＝a0＋a1＋a2＋…a15.
13．B 14.A 15.C
16．C 【解析】如解图，连接AG，在△ABG中，AB＝2a，BG＝a，∴AB∶BG＝2∶1.∵LC∥AB，∴△LCG∽△ABG.∴LC∶CG＝AB∶BG＝2∶1.∴(a－b)＝2b，即a＝3b.∴S2＝a2－b2＝8b2.连接PF，则PF＝FE＝a＝3b，在Rt△PFH中，由勾股定理得PH＝eq \r(PF2－FH2)＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(2)b，∴S1＝eq \f(1,2)PH·HE＝eq \f(1,2)·2eq \r(2)b·2b＝2eq \r(2)b2.∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(2\r(2)b2,8b2)＝eq \f(\r(2),4).
第16题解图
17．10 【解析】由题意可知，S弧田＝eq \f(1,2)(AB·CD＋CD2)．∵OA＝OB，OC⊥AB，∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB.∵AB＝8，∴AD＝4.又∵OA＝5，∴在Rt△OAD中，由勾股定理得OD＝eq \r(52－42)＝3.∴CD＝OC－OD＝5－3＝2.∴S弧田＝eq \f(1,2)×(8×2＋22)＝10.
18．(1)解：R－d；(1分)
【解法提示】观察图可知IN＝ON－OI＝R－d.
(2)解：BD＝ID.(2分)
理由如下：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI.··········(3分)
∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI，
∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，
∴∠BID＝∠DBI.··········(4分)
∴BD＝ID；··········(5分)
(3)证明：由(2)知：BD＝ID，
∴IA·ID＝DE·IF.
又∵IA·ID＝IM·IN，
∴DE·IF＝IM·IN.··········(6分)
∴2R·r＝(R＋d)(R－d)．
∴R2－d2＝2Rr.
∴d2＝R2－2Rr；··········(7分)
(4)eq \r(5).··········(8分)
【解法提示】由(3)d2＝R2－2Rr可知△ABC的外心与内心之间的距离＝eq \r(52－2×5×2)＝eq \r(5).
19．B
20．A 【解析】∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5eq \r(5).小正方形的边长为5.∴5eq \r(5)csθ－5eq \r(5)sinθ＝5.∴csθ－sinθ＝eq \f(\r(5),5).∴(sinθ－csθ)2＝[－(csθ－sinθ)]2＝eq \f(1,5).
21．4
23.eq \f(5\r(2),2) 【解析】如解图，由题意可知正方形ABCD的边长AB＝10 cm，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO＝BO＝5eq \r(2) cm.∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF.∵四边形OEFG是正方形，∴OE＝EF＝BE.∴OE＝eq \f(5\r(2),2) cm.
第23题解图
24．4eq \r(5) 【解析】如解图①，连接PM，由题意AB＝4eq \r(2)，则易得BO＝4，AM＝MO＝ON＝NC＝2，PQ＝QR＝2，∴PR＝MN，PR∥MN.∴四边形PMNR是矩形．∴PM＝RN＝2.如解图②，连接PO，则由解图①可知，PO＝OQ＝2，PO⊥EO，∴点Q，O，P在一条直线上．∴EO垂直平分QP.延长TS交EH于J，∵ES⊥TJ，∴SJ∥OP.∵EO＝SO，∴SJ＝2OP＝4.∴JT＝ES，JS＝TG＝4.∵∠ESJ＝∠JTG，∴△EJS≌△JGT.∴EJ＝JG，∵四边形EHGF是正方形，∴EH＝HG.∵点J在EH上，∴点H与点J重合，即点H在TS的延长线上．∴EH＝eq \r(ES2＋SH2)＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5).
第24题解图
图一
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
… …
图二
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
… …