初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形第2课时综合训练题

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形第2课时综合训练题，共8页。试卷主要包含了下列说法正确的是，能判断四边形是矩形的条件是，已知，∴AF＝DC.等内容，欢迎下载使用。

知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．下列说法正确的是( )
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．

3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．能判断四边形是矩形的条件是( )
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等
D．两条对角线互相垂直
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件
，使四边形ABCD为矩形．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由．

知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
8．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．

02 中档题
9．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有( )
A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①③④
11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)
A．2eq \r(3) B．3eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)

第11题图 第12题图
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.

14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

03 综合题
15．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．下列说法正确的是(D)
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCB.
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.
又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．
(2)四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．能判断四边形是矩形的条件是(C)
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等
D．两条对角线互相垂直
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由．
解：四边形EFGH是矩形．
理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AO＝CO＝BO＝DO.
∵点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
8．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC
＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝eq \f(1,2)∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝eq \f(1,2)∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.
同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
02 中档题
9．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)
A．2eq \r(3) B．3eq \r(3)
C．4 D．4eq \r(3)

第11题图 第12题图
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
(2)∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.
∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.
14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：(1)∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥CB，
∴∠A＝∠EBC.
在△ABD和△BEC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BE，,∠A＝∠EBC，,AD＝BC，))
∴△ABD≌△BEC(SAS)．
(2)∵在▱ABCD中，AB∥ CD，且AB＝BE，
BE CD.∴四边形BECD为平行四边形．
∴OB＝eq \f(1,2)BC，OE＝eq \f(1,2)ED.
∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC，
且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED.
∴四边形BECD是矩形．
03 综合题
15．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.
∴OF＝OC.
同理可证：OC＝OE.
∴OE＝OF.
(2)由(1)，知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴EF＝eq \r(CE2＋CF2)＝eq \r(122＋52)＝13.
又∵OE＝OF，
∴OC＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(13,2).
(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由：连接AE，AF.
当点O移动到AC中点时，OA＝OC，
又∵OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形．