数学八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试当堂检测题

第十七章卷（1）

一、选择题

1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5

2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A．25 B．14 C．7 D．7或25

3．正方形的面积是4，则它的对角线长是（　　）

A．2 B． C． D．4

4．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）

A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：169

5．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（　　）

A．6 B． C． D．4

6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里

7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）

A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形

8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题

9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为　  　．

10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=　　．

11．正方形的对角线为4，则它的边长AB=　  　．

12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为　  　．

13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有　  　米．

三、解答题

14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．

15．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（π取3）

16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．

17．在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)已知c=25，b=15，求a；

(2)已知a=，∠A=60°，求b、c．

18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．

20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

答案

1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】选择题．

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；

B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；

C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；

D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A．25 B．14 C．7 D．7或25

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】选择题．

【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．

【解答】解：分两种情况：(1)3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；

(2)3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，

故选D．

【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．

3．正方形的面积是4，则它的对角线长是（　　）

A．2 B． C． D．4

【考点】勾股定理．

【专题】选择题．

【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．

【解答】解：设正方形的对角线为x，

∵正方形的面积是4，

∴边长的平方为4，

∴由勾股定理得，x==2．

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理和性质是解题的关键．

4．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）

A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：169

【考点】勾股定理．

【专题】选择题．

【分析】可在直角三角形中，用勾股定理求出斜边的长，然后根据三角形面积的不同表示方法，求出斜边上的高．进而可得出斜边与斜边上的高的比例关系．

【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5k，BC=12k，

根据勾股定理有：AB==13k，

∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，

∴CD==，

∴AB：CD=13：=169：60，

即斜边上的高与斜边的比=60：169，

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理得运用，能够根据已知条件结合勾股定理求出直角三角形的三边．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．此结论在计算中运用可以简便计算．

5．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（　　）

A．6 B． C． D．4

【考点】勾股定理．

【专题】选择题．

【分析】利用两次勾股定理即可解答．

【解答】解：∵AD⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90°

∵AB=3，BD=2，

∴AD==

∵DC=1

∴AC==．

故选B．

【点评】本题需先求出AD长，利用了两次勾股定理进行推理计算．

6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里

【考点】勾股定理的应用；方向角．

【专题】选择题．

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．

【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

∴∠BAC=90°，

两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，

根据勾股定理得：=40（海里）．

故选D．

【点评】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．

7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）

A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】选择题．

【分析】对等式进行整理，再判断其形状．

【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，

故选C．

【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．

8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】勾股定理的应用．

【专题】选择题．

【分析】根据翻折的性质可得AE=CE，设BE=x，然后表示出AE，再利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．

【解答】解：根据翻折的性质得，AE=CE，设BE=x，

∵长方形ABCD的长为8，

∴AE=CE=8﹣x，

在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2=AB2+BE2，

即（8﹣x）2=42+x2，

解得x=3，

所以，BE的长为3．

故选A．

【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后对应线段相等，然后用BE的长度表示出AE是解题的关键．

9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为　  　．

【考点】勾股定理．

【专题】填空题．

【分析】由已知直角三角形的两直角边，利用勾股定理即可求出斜边的长．

【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边的长分别为：a=1cm，b=2cm，

∴根据勾股定理得：斜边长c===cm．

故答案为：cm．

【点评】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=　　．

【考点】勾股定理．

【专题】填空题．

【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解．

【解答】解：∵∠C=90°，

∴AB2=AC2+BC2，

∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．

故答案为：50．

【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．

11．正方形的对角线为4，则它的边长AB=　  　．

【考点】勾股定理．

【专题】填空题．

【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求出其边长．

【解答】解：设正方形的边长为x，则x2+x2=42得：x=．

故答案为2．

【点评】此题考查勾股定理的运用．

12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为　  　．

【考点】勾股定理．

【专题】填空题．

【分析】先根据题意设出另外两直角边的长，再根据勾股定理列方程解答即可．

【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），

根据勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，

解得x=8，∴x+2=10，

∴周长为：6+8+10=24．

故答案为24

【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，需注意连续偶数应相隔2个数，熟练掌握勾股定理的应用．

13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有　  　米．

【考点】勾股定理的应用．

【专题】填空题．

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．

【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，

根据勾股定理得BC==15米，

于是折断前树的高度是15+9=24米．

故答案为：24．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．

14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．

【考点】作长为（n为正整数）的线段．

【专题】解答题．

【分析】连接AB，根据勾股定理，AB==2．故AB长度是无理数；根据勾股定理，CD==5．故CD的长度是有理数．

【解答】解：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD．

∵△ABE是直角三角形，

∴AB==2，

同理，CD═CD==5，

故答案为：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD

【点评】本题考查了无理数、有理数和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

15．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（π取3）

【考点】勾股定理．

【专题】解答题．

【分析】首先利用勾股定理得出斜边长，进而利用圆的面积公式得出答案．

【解答】解：由题意可得：半圆的直径为：=10，

则阴影部分的半圆的面积是：π×52=×3×25=．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及圆的面积求法，正确掌握圆的面积公式是解题关键．

16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．

【专题】解答题．

【分析】先在△ABC中，根据勾股定理求出AB2的值，再在△ABD中根据勾股定理的逆定理，判断出AD⊥AB，即可得到△ABD为直角三角形．

【解答】解：△ABD为直角三角形．理由如下：

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴AB2=CB2+AC2=42+32=52，

∴在△ABD中，AB2+AD2=52+122=132，

∴AB2+AD2=BD2，

∴△ABD为直角三角形．

【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

17．在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)已知c=25，b=15，求a；

(2)已知a=，∠A=60°，求b、c．

【考点】勾股定理．

【专题】解答题．

【分析】(1)根据勾股定理即可直接求出a的值；

(2)根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．

【解答】解：(1)根据勾股定理可得：

a==20；

(2)∵△ABC为Rt△，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴c=2b，

根据勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，

解得b=，则c=2．

【点评】考查综合应用勾股定理、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．

18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

【考点】勾股定理的应用．

【专题】解答题．

【分析】根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20﹣4=16，再根据勾股定理就可求解．

【解答】解：如图所示，根据题意，得

AC=20﹣4=16，BC=12．

根据勾股定理，得

AB=20．

则小鸟所用的时间是20÷4=5（s）．

【点评】此题主要是勾股定理的运用．注意：时间=路程÷速度．

19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．

【专题】解答题．

【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．

【解答】解：连接BD，

∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°

∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm2

又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm

∴BD2+CD2=BC2

∴∠BDC=90°

∴S△BDC=×5×12=30cm2

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．

【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．

20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

【考点】勾股定理的应用．

【专题】解答题．

【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．

【解答】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，故AC===2米，

在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，故EC===1.5米，

故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．

【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．