数学人教版18.2.1 矩形学案

第7课时　矩形的判定

1.理解并掌握矩形的判定方法.

2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明与计算.

矩形的判定定理及运用.

灵活运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题.

一、情景导入，感受新知

一位工人师傅在修理一个矩形桌面时，手上只有一把刻度尺，他怎样才能判断该四边形是个矩形？请说明如何操作，并画图写出证明过程.如果允许换工具，你还有其他方法吗？

二、自学互研　生成新知

【自主探究】

阅读教材P54内容，思考下列问题：

问题1：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①)，使AB＝CD，EF＝GH；

(2)摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是__平行四边__形，根据的数学道理是__两组对边分别相等的四边形是平行四边形__；

(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)，说明窗框合格，这时窗框是__矩__形，根据的数学道理是__有一个角是直角的平行四边形是矩形__.

【合作探究】

问题2：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否是矩形，采用了一种方法，量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长度相等，则窗框一定是矩形，你知道是为什么吗？

结论：矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.

问题3：已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形.

先让学生独立思考，或与同伴交流，再请学生说说.培养学生勇于表达、善于表达、乐于表达自己的思想.

结论：矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.

几何语言：

∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，

∴四边形ABCD是矩形.

【师生活动】

①明了学情：关注学生对矩形判定定理的理解与掌握.

②差异指导：对学生在探究过程中存在的困惑，及时引导与点拨.

③生生互动：学生独立观察、思考，然后在小组内交流自己的困惑，相互释疑.

三、典例剖析　运用新知

【合作探究】

例1：[教材P54例2]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.

又OA＝OD，

∴AC＝BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，

又∵∠OAD＝50°，

∴∠OAB＝40°.

变式　已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4 cm，求这个平行四边形的面积.

解：∵四边形ABCD是平行四边形.

∴AO＝AC，BO＝BD.

∵AO＝BO，∴AC＝BD.

∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).

在Rt△ABC中，∵AB＝4 cm，AC＝2AO＝8 cm，

∴BC＝＝4(cm).

∴矩形ABCD的面积为4×4＝16(cm2).

【师生活动】

学生通过观察，分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，教师及时给予学有困难的学生引导点拨.

四、课堂小结　回顾新知

今天我们学了哪些内容？

一种学习方法；两个猜想证明；三种判定方法.

方法1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；

方法3：有三个角是直角的四边形是矩形.

五、检测反馈　落实新知

1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)

A.AB＝BE　　　　　B.DE⊥DC

C.∠ADB＝90°  D.CE⊥DE

2.已知，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝1，则BC的长为(B)

A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.

3.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则能使四边形ABCD成为矩形的是__①②③或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥__.(填序号)

4.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2 cm，求矩形ABCD的面积.

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.

∵AE＝BF＝CG＝DH，

∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，

∴四边形EFGH是矩形；

(2)∵G是OC的中点，∴GO＝GC.

∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.

又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，

∴CD＝OD.

∵F是BO中点，OF＝2 cm，∴BO＝4 cm.

∵四边形ABCD是矩形，

∴DO＝BO＝4 cm，

∴DC＝4 cm，DB＝8 cm，

∴CB＝＝4 cm，

∴S矩形ABCD＝4×4＝16 cm2.

六、课后作业　巩固新知