高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数完美版ppt课件

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两角和与差的正切公式(1)公式
(k∈Z)且tan α·tan β≠-1
(2)本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系.(3)应用:①求值;②化简.
【思考】(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)= 由此能否推导出两角和的正切公式?若能,写出推导过程.提示:能.tan(α+β)= 分子分母同除以cs αcs β,可得tan(α+β)=
(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于kπ+ (k∈Z)?提示:这是由正切函数的定义域决定的.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　)(2)对任意α,β∈R,tan(α+β)= 都成立.(　　)(3)tan(α+β)= 等价于tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β).(　　)
提示:(1)√.当α=0,β= 时,tan(α+β)=tan =tan 0+tan ,但一般情况下不成立.(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z)且tan α·tan β≠1.(3)√.当α≠kπ+ (k∈Z),β≠kπ+ (k∈Z),α+β≠kπ+ (k∈Z)时,由前一个式子两边同乘以1-tan αtan β可得后一个式子.
2.tan 255°=(　　)A.-2- 　　B.-2+ 　　C.2- 　　D.2+ 【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)
3.(教材二次开发:练习改编)若cs θ=- ,且θ为第三象限角,则tan 的值等于(　　)A. B.- C.-7D.7【解析】选D.cs θ=- ,且θ为第三象限角,则sin θ= 所以tan θ=
类型一　给角求值问题(数学运算)【题组训练】1.计算: =________. 2.tan 10°+tan 50°+ tan 10°tan 50°=________. 
【解析】1.原式= = tan(45°+15°)= tan 60°=1.答案:12.因为tan 60°=tan(10°+50°)= 所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)= - tan 10°tan 50°,所以原式= - tan 10°tan 50°+ tan 10°tan 50°= .答案:
【解题策略】公式T(α+β),T(α-β) 应用的解题策略(1)公式T(α+β),T(α-β)有tan α·tan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者知二可求出第三个.(2)化简过程中注意“1”与“tan ”,“ ”与“tan ”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
【补偿训练】　　 tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°=________. 【解析】原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°·tan 42°)- tan 72°tan 42°=tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°=tan 30°= .答案:
类型二　给值求角问题(数学运算)【典例】(2020·洛阳高一检测)已知tan =2,tan(α-β)= ,α∈ ,β∈ .(1)求tan α的值;(2)求2α-β的值.
【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则(1)给值求角问题的步骤.①求所求角的某个三角函数值.②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),根据范围找出角.(2)选取函数的原则.①已知正切函数值,选正切函数.②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是 ,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是 ,选正弦较好.
【跟踪训练】已知tan α= ,sin β= ,且α,β为锐角,求α+2β的值.
【解析】因为tan α= <1且α为锐角,所以0<α< .又因为sin β= 且β为锐角.所以0<β< ,所以0<α+2β< .①由sin β= ,β为锐角,得cs β= ,
所以tan β= .所以tan(α+β)= 所以tan(α+2β)= 由①②可得α+2β= .
【补偿训练】已知α,β,γ都是锐角,且tan α=　 ,tan β= ,tan γ= ,则α+β+γ=________. 
【解析】因为tan(α+β)= tan(α+β+γ)= 因为tan α= ,且α为锐角,所以0<α< ,同理0<β< ,0<γ< ,所以0<α+β+γ< ,所以α+β+γ= .答案:
类型三　给值求值问题(数学运算)角度1　式子变换 【典例】已知sin α= ,α∈ ,tan(π-β)= ,则tan(α-β)的值为(　　)　　　　　 　　　　　 【思路导引】由条件得出tan α与tan β的值,代入两角差的正切公式可求值.
【解析】选A.因为α∈ ,sin α= ,所以cs α=- ,tan α=- ,又tan β=- ,所以tan(α-β)=
【变式探究】本例条件不变,求tan(α+β)的值.【解析】因为α∈ ,sin α= ,所以cs α=- ,tan α=- ,又tan β=- ,所以tan(α+β)=
角度2　拆角变换 【典例】已知tan α= ,tan(α-β)=- ,那么tan(β-2α)的值为(　　) 【思路导引】tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[α＋（α－β]
【解析】选B.tan(β-2α)=-tan(2α-β)
【解题策略】给值求值问题的两种变换(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值. (2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.
【题组训练】1.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ-tan =7,则tan θ= (　　)A.-2B.-1C.1D.2【解析】选D.由题意可知2tan θ- =7,化简得:2tan θ-2tan2θ-1-tan θ=7-7tan θ,解得tan θ=2.
2.已知α,β为锐角,cs α= ,tan(α-β)=- ,则tan β的值为________. 【解析】因为α为锐角,cs α= ,所以tan α= .所以tanβ=tan[α-(α-β)]= 答案:
1.设角θ的终边过点(2,3),则tan = (　　)A. 　　　B.- 　　　C.5　　　D.-5【解析】选A.由于角θ的终边过点(2,3),因此tan θ= ,故tan
2.tan 10°tan 20°+ (tan 10°+tan 20°)等于(　　)A. 　　　B.1　　　C. 　　　D. 【解析】选B.原式=tan 10°tan 20°+ tan 30°(1-tan 10°tan 20°)=tan 10°tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.
3.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B= ,则tan Atan B的值为 (　　) 【解析】选B.因为C=120°,所以A+B=60°,所以tan (A+B)= 因为tan A+tan B= ,所以tan A+tan B= (1-tan A·tan B)= ,解得tan A·tan B= .
4.计算 =________. 【解析】因为 =tan 45°=1.答案:1