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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理优质课ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第11章 解三角形11.2 正弦定理优质课ppt课件，共57页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.正弦定理(1)正弦定理
(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.(3)应用:求解三角形中的边或角;进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题.
【思考】利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径,则(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ;(3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c;(4) ;(5)S△ABC= absin C= bcsin A= acsinB.
【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?提示:利用正弦定理的变式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C实现边化角;利用公式sin A= ,sin B= ,sin C= 角化边.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形.( )(2)在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.( )(3)在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.( )提示: (1)×.正弦定理是适用于任何三角形的.(2)√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得 = ,故a=b,则A=B.(3)√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以sin A>sin B.
2.在△ABC中,a=3,b=5,sin A= ,则sin B= ( ) A. B. C. D.1【解析】选B.因为a=3,b=5,sin A= ,所以由正弦定理得sin B=.
3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3 ,则AC=( )A.4 B.2 C. D. 【解析】选B.由正弦定理得: = ,所以 .
类型一 已知两角及一边解三角形(数学运算)【题组训练】1.(2020·长沙高一检测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 =( )A. B. C. D.
2.在△ABC中,a=10,B=60°,cs C= ,则c等于( )A.20( +2)B.20( -2)C. +2D.20 3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解析】1.选B.由正弦定理知, ,即 = , = .
2.选B. 由cs C= 得sin C= ,sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C= .由正弦定理得c=a·
3.因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由 得a= .因为sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cs 45°+cs 30°sin 45°= ,所以b=所以a=10 ,b=5 +5 ,B=105°.
【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【补偿训练】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=( ) A.4 B.4 C.4 D. 【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理 ,得b= .
2.在△ABC中,A=60°,sin B= ,a=3,求三角形中其他边与角的大小.【解析】因为sin B= ,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理 ,得
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)【典例】在△ABC中,已知c= ,A=45°,a=2,解这个三角形.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】在△ABC中,cs A= ,a=4 ,b=4 ,则B等于( ) A.45°或135°B.135°C.45°D.60°【解析】选C.由cs A= ,得sin A= ,A=60°,由正弦定理得sin B= = .因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.
【拓展延伸】 1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断
2.解题思路在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
【拓展训练】 (2020·进贤高一检测)在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=2 ,为使此三角形有两个,则a满足的条件是( )A.0
【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据正弦定理 及sin2A=sin 2B+sin 2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90°,所以2sin Bcs C=2sin Bcs(90°-B)=2sin 2B=sin A=1,所以sin B= .因为0°
角度2 正弦、余弦定理的综合应用 【典例】1.在△ABC中,若a=3 ,cs C= ,S△ABC=4 ,则b=________. 2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若 a+b=2c,求sin C.
【思路导引】1.根据cs C的值,求出sin C的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;2.(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin C.
【解析】1.因为cs C= ,所以C∈（0， ）,所以sin C= ,又S△ABC= absin C= ·3 ·b· =4 ,所以b=2 .答案:2
2.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论,得cs A= .因为0°【解题策略】1.判定三角形形状的两种常用途径(1)化角为边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(2)化边成角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2.解三角形时的边角互化化边(角)为角(边):将题目中所有的条件,利用正弦定理或余弦定理化边(角)为角(边),再利用三角恒等变换找出三角的关系.
【题组训练】1.(2020·濮阳高一检测)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理得 ,又 , 得 ,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acs B=(2a-b)cs A,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c-acs B=(2a-b)cs A,由正弦定理得sin C-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A,所以sin(A+B)-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A,化简得cs A(sin B-sin A)=0,所以cs A=0或sin B-sin A=0,则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
3.(2020·潍坊高一检测)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcs C+ccs B=2acs A且△ABC的面积为 ,则B=( )A. B. C. D.
【解析】选C.由正弦定理及bcs C+ccs B=2acs A,得sin Bcs C+sin Ccs B=2sin Acs A,所以sin(B+C)=2sin Acs A,又因为在△ABC中,sin(B+C)=sin A>0,所以cs A= ,又A∈(0,π),所以A= ,又S△ABC= absin C,结合余弦定理cs C= 得 = absin C,所以tan C=1.又C∈(0,π),所以C= ,所以B=π- - = .
【补偿训练】(2020·扬州高一检测)在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,A= ,b=1,S△ABC= ,则 的值等于( )
【解析】选D.因为S△ABC= bcsin A,所以 所以a2=b2+c2-2bccs A=1+48-2×1×4 × =37,所以a= ,所以
备选类型 正弦定理的实际应用(数学建模)【典例】(2020·苏州高一检测)如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且∠ABC=120°,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知∠ACD=60°,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),∠ACB=θ(30°≤θ≤45°).
(1)求灯柱的高h(用θ表示);(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于θ的函数表达式,并求出S的最小值.【思路导引】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,在△ACD中和在△ABC中,,运用正弦定理可求得答案;(2)在△ABC中,运用正弦定理可得BC=8 +8 cs 20-8sin 20,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.
【解析】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,在△ACD中, 所以AC= =16 cs θ,在△ABC中,AB= =16 cs θsin θ× =16sin 2θ,即h=16sin 2θ(30°≤θ≤45°).
(2)在△ABC中, ⇒BC= =8 +8 cs 2θ-8sin 2θ,则S=AB+BC=8 +8 cs 2θ+8sin 2θ=8 +16sin(2θ+60°),因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°,当θ=45°时,S取到最小值(8 +8)m.
【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.4.作出解答.
【跟踪训练】(2020·扬州高一检测)如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.
【解析】因为CD垂直于地面,所以CD⊥BC,CD⊥AC,又∠DBC=45°,所以BC=CD,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=30,由正弦定理可得: 所以
解得:BC=15 ,即CD=15 ;由正弦定理可得: 所以 即AC=30 sin 105°=30 ×sin(45°+60°)= 因此tan∠CAD= 答案:15
1.(2020·沈阳高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是( ) A.a∶b=A∶BB.a∶b=sin A∶sin BC.a∶b=sin B∶sin AD.asin A=bsin B【解析】选B.由正弦定理 可得a∶b=sin A∶sin B,可知B正确.
2.(2020·珠海高一检测)在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是( )A.sin Asin BD.sin B>cs A【解析】选D.因为在锐角△ABC中,0A> -B>0,因为sin A>sin =cs B,故A选项不正确,因为sin A与sin B大小不定,所以C选项不正确,所以cs A
4.在△ABC中,若 则B的度数为________. 【解析】根据正弦定理知, 结合已知条件可得sin B=cs B,又0°
1.正弦定理(1)正弦定理
(2)本质:三角形中,边与其对角的正弦之间的关系.(3)应用:求解三角形中的边或角;进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题.
【思考】利用正弦定理可以解决哪些类型的问题?提示:(1)已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径,则(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ;(3)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c;(4) ;(5)S△ABC= absin C= bcsin A= acsinB.
【思考】如何利用正弦定理把三角形的边化为角,角化为边?提示:利用正弦定理的变式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C实现边化角;利用公式sin A= ,sin B= ,sin C= 角化边.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形.( )(2)在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B.( )(3)在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.( )提示: (1)×.正弦定理是适用于任何三角形的.(2)√.在△ABC中,若sin A=sin B,由正弦定理得 = ,故a=b,则A=B.(3)√.在△ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B,所以sin A>sin B.
2.在△ABC中,a=3,b=5,sin A= ,则sin B= ( ) A. B. C. D.1【解析】选B.因为a=3,b=5,sin A= ,所以由正弦定理得sin B=.
3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=3 ,则AC=( )A.4 B.2 C. D. 【解析】选B.由正弦定理得: = ,所以 .
类型一 已知两角及一边解三角形(数学运算)【题组训练】1.(2020·长沙高一检测)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,则 =( )A. B. C. D.
2.在△ABC中,a=10,B=60°,cs C= ,则c等于( )A.20( +2)B.20( -2)C. +2D.20 3.在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
【解析】1.选B.由正弦定理知, ,即 = , = .
2.选B. 由cs C= 得sin C= ,sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C= .由正弦定理得c=a·
3.因为A=45°,C=30°,所以B=180°-(A+C)=105°.由 得a= .因为sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cs 45°+cs 30°sin 45°= ,所以b=所以a=10 ,b=5 +5 ,B=105°.
【解题策略】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
【补偿训练】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=( ) A.4 B.4 C.4 D. 【解析】选C.A=180°-B-C=45°,由正弦定理 ,得b= .
2.在△ABC中,A=60°,sin B= ,a=3,求三角形中其他边与角的大小.【解析】因为sin B= ,所以B=30°或150°,当B=30°时,由A=60°得C=90°;当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理 ,得
类型二 已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)【典例】在△ABC中,已知c= ,A=45°,a=2,解这个三角形.
【解题策略】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;(3)如果已知的角为小边所对的角,不能判断另一边所对的角为锐角时,这时由正弦值可求出两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】在△ABC中,cs A= ,a=4 ,b=4 ,则B等于( ) A.45°或135°B.135°C.45°D.60°【解析】选C.由cs A= ,得sin A= ,A=60°,由正弦定理得sin B= = .因为三角形的内角和为180°,且a>b,所以B=45°.
【拓展延伸】 1.已知两边及一边对角解三角形的个数判断
2.解题思路在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
【拓展训练】 (2020·进贤高一检测)在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=2 ,为使此三角形有两个,则a满足的条件是( )A.0
【解析】方法一:(利用角的互余关系)根据正弦定理 及sin2A=sin 2B+sin 2C,可得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90°,所以2sin Bcs C=2sin Bcs(90°-B)=2sin 2B=sin A=1,所以sin B= .因为0°
角度2 正弦、余弦定理的综合应用 【典例】1.在△ABC中,若a=3 ,cs C= ,S△ABC=4 ,则b=________. 2.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若 a+b=2c,求sin C.
【思路导引】1.根据cs C的值,求出sin C的值,再根据三角形的面积公式求出边b的值;2.(1)由正弦定理化角为边,再用余弦定理的推论求角A;(2)由正弦定理化边为角,结合(1)的结论,利用三角恒等变换求sin C.
【解析】1.因为cs C= ,所以C∈（0， ）,所以sin C= ,又S△ABC= absin C= ·3 ·b· =4 ,所以b=2 .答案:2
2.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论,得cs A= .因为0°
【题组训练】1.(2020·濮阳高一检测)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,满足 ,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理得 ,又 , 得 ,即tan A=tan B=tan C,所以A=B=C,即△ABC为等边三角形.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acs B=(2a-b)cs A,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选D.已知c-acs B=(2a-b)cs A,由正弦定理得sin C-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A,所以sin(A+B)-sin Acs B=2sin Acs A-sin Bcs A,化简得cs A(sin B-sin A)=0,所以cs A=0或sin B-sin A=0,则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
3.(2020·潍坊高一检测)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcs C+ccs B=2acs A且△ABC的面积为 ,则B=( )A. B. C. D.
【解析】选C.由正弦定理及bcs C+ccs B=2acs A,得sin Bcs C+sin Ccs B=2sin Acs A,所以sin(B+C)=2sin Acs A,又因为在△ABC中,sin(B+C)=sin A>0,所以cs A= ,又A∈(0,π),所以A= ,又S△ABC= absin C,结合余弦定理cs C= 得 = absin C,所以tan C=1.又C∈(0,π),所以C= ,所以B=π- - = .
【补偿训练】(2020·扬州高一检测)在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c,A= ,b=1,S△ABC= ,则 的值等于( )
【解析】选D.因为S△ABC= bcsin A,所以 所以a2=b2+c2-2bccs A=1+48-2×1×4 × =37,所以a= ,所以
备选类型 正弦定理的实际应用(数学建模)【典例】(2020·苏州高一检测)如图,在路边安装路灯,灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且∠ABC=120°,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图阴影部分所示,已知∠ACD=60°,路宽AD=24(m),设灯柱高AB=h(m),∠ACB=θ(30°≤θ≤45°).
(1)求灯柱的高h(用θ表示);(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记所用材料的长度为S,求S关于θ的函数表达式,并求出S的最小值.【思路导引】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,在△ACD中和在△ABC中,,运用正弦定理可求得答案;(2)在△ABC中,运用正弦定理可得BC=8 +8 cs 20-8sin 20,运用三角恒等变换和三角函数的性质可求得最小值.
【解析】(1)由已知得∠BAC=60°-θ,∠CAD=30°+θ,又∠ACD=60°,∠ADC=90°-θ,在△ACD中, 所以AC= =16 cs θ,在△ABC中,AB= =16 cs θsin θ× =16sin 2θ,即h=16sin 2θ(30°≤θ≤45°).
(2)在△ABC中, ⇒BC= =8 +8 cs 2θ-8sin 2θ,则S=AB+BC=8 +8 cs 2θ+8sin 2θ=8 +16sin(2θ+60°),因为30°≤θ≤45°,所以120°≤2θ+60°≤150°,当θ=45°时,S取到最小值(8 +8)m.
【解题方略】利用正弦定理解决实际问题的步骤1.认真审题,弄清题意.有图形则借助图形,无图形则作出规范图形辅助解决.2.转化.将实际问题转化为解三角形问题,利用正弦定理进行数据求解.3.还原问题.将求得的解还原到实际问题中去,即除了解三角形自身限制外还要注意实际问题的限制.4.作出解答.
【跟踪训练】(2020·扬州高一检测)如图,某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面),设计如下的测量方案:先在地面选定距离为30米的A,B两点,然后在A处测得∠BAC=30°,在B处测得∠ABC=105°,∠DBC=45°,由此可得旗杆CD的高度为________米,∠CAD的正切值为________.
【解析】因为CD垂直于地面,所以CD⊥BC,CD⊥AC,又∠DBC=45°,所以BC=CD,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠ACB=45°,又AB=30,由正弦定理可得: 所以
解得:BC=15 ,即CD=15 ;由正弦定理可得: 所以 即AC=30 sin 105°=30 ×sin(45°+60°)= 因此tan∠CAD= 答案:15
1.(2020·沈阳高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列等式正确的是( ) A.a∶b=A∶BB.a∶b=sin A∶sin BC.a∶b=sin B∶sin AD.asin A=bsin B【解析】选B.由正弦定理 可得a∶b=sin A∶sin B,可知B正确.
2.(2020·珠海高一检测)在锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是( )A.sin A
4.在△ABC中,若 则B的度数为________. 【解析】根据正弦定理知, 结合已知条件可得sin B=cs B,又0°
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