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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.1 基本立体图形精品课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.1 基本立体图形精品课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，某一方向平移，正多边形，平面多边形，公共边，公共点，关键能力·合作学习，2直接法，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.棱柱的结构特征(1)棱柱的定义:由一个平面多边形沿_____________形成的空间图形叫作棱柱,平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面.(2)棱柱的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′.
(3)特殊的棱柱直棱柱:侧棱_____于底面的棱柱;斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是_________的直棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱.
【思考】棱柱的两个底面有什么关系?侧面有什么特点?提示:棱柱的两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形.
2.棱锥的结构特征(1)棱锥的定义:当棱柱的一个底面_____为一个点时,得到的空间图形叫作棱锥.(2)棱锥的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体.棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,例如三棱锥可表示为:三棱锥S-ABC.(3)特殊的棱锥正棱锥:底面是_________,并且顶点与底面中心的连线_____于底面的棱锥.
【思考】棱锥有什么结构特征呢?提示:棱锥的底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
3.棱台的结构特征(1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分称之为棱台.(2)棱台的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE-A′B′C′D′E′.
【思考】(1)棱台有什么特点呢?提示:原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面,其余各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱,侧面与上(下)底面的公共顶点叫作棱台的顶点.棱台的所有侧棱延长之后交于一点.
(2)在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢?以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明.提示:
4.多面体的定义由若干个___________围成的空间图形叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个面的_______叫作多面体的棱;棱与棱的_______叫作多面体的顶点.
【思考】在多面体中会有曲面吗?提示:不会,多面体是由若干个平面多边形构成的.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)棱柱的底面互相平行.( )(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形.( )(3)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )(4)长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.( )
提示:(1)√.(2)√.(3)×.有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体才叫棱锥;(4)×.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.
2.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【解析】选A.棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
3.(教材二次开发:习题改编)下面四个几何体中,是棱台的是 ( ) 【解析】选C.由棱台的结构特征知,两个底面平行且相似,侧面都是梯形.侧棱延长应交于一点.
类型一 棱柱的结构特征(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.下列说法正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形
2.下列关于棱柱的说法:(1)所有的面都是平行四边形;(2)每一个面都不会是三角形;(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是__________.
3.如图长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗?若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【解析】1.选D.选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
2.(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;(3)正确,由棱柱的定义易知;(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是(3)(4).答案:(3)(4)
3.(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱,因为它满足棱柱的定义.(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱,它的底面是△BEB1与△CFC1,侧棱是EF,B1C1,BC.截面左侧部分是四棱柱.它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1,侧棱是AD,BC,EF,A1D1.
【解题策略】棱柱结构特征问题(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.
【补偿训练】 如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
类型二 棱锥、棱台的结构特征(数学抽象、直观想象)【典例】下列关于棱锥、棱台的说法:(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是____________. 【思路导引】在判断空间图形的相关结论时,一定要紧扣定义.
【解析】(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;(3)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(4)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 答案:(2)(3)
【解题策略】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
【跟踪训练】1.下列说法中,正确的是( )①棱锥的各个侧面都是三角形;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;④棱锥的各侧棱长相等. A.①②B.①③C.②③D.②④
【解析】选B.由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故②错;四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错.
2.棱台不具有的性质是( )A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点【解析】选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A,B,D都是棱台具有的性质,而侧棱长不一定相等.
3.(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.
【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图: , 则有8θ=360°,解得θ=45°,即设棱长为x,可得2 +x=1,解得x= -1.答案:26 -1
类型三 多面体的平面展开图问题(直观想象、逻辑推理)角度1 空间几何体的展开与折叠 【典例】(1)如图是三个空间图形的平面展开图,请问各是什么空间图形?
(2)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是( ) A.南B.北C.西D.下
【思路导引】(1)结合多面体的结构特征,将其平面图形还原为立体几何图形.(2)将正方体进行还原,就是正方体展开的逆推,一定要遵循展开的要求,是外面朝上.
【解析】(1)图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图进行还原,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
(2)选B.将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的为北面.
【变式探究】本例(2)的条件若改为里面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是什么呢?【解析】选A.将所给图形进行还原,注意里面朝上展开,所以标“△”的面为南面.
角度2 多面体表面距离最短问题 【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将正方体进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:
①若将C1D1剪开,使平面AB1与平面A1C1共面,可求得AC1= ②若将AD剪开,使平面AC与平面BC1共面,可求得AC1= ③若将CC1剪开,使平面BC1与平面AB1共面,可求得AC1= 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为
【解题策略】多面体展开图问题的解题策略1.绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.2.由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
【题组训练】1.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是( )A.1B.9C.快D.乐
【解析】选B.由题意,将正方体的展开图还原成正方体,如图:“1”与“乐”相对,“2”与“9”相对,“0”与“快”相对,所以下面是“9”.
2.一个空间图形的平面展开图如图所示. (1)该几何体是哪种多面体?(2)该多面体中与“祝”字面相对的是哪个面?“你”字面相对的是哪个面?
【解析】(1)该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”,与“你”字面相对的面是“程”.
备选类型 多面体的表面展开图(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【思路导引】求△AEF的周长的最小值就是求AE+EF+AF的最小值,将三棱锥V-ABC展开,两点之间线段最短.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4 .所以△AEF周长的最小值为4 .
【解题策略】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点之间线段最短,所以处理方法就是将面展开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【跟踪训练】如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
【解析】将长方体展开,连接AB′,因为AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6 cm,根据两点之间线段最短,AB′= =10(cm).所以所用细线最短需要10 cm.
1.下面的几何体中是棱柱的有( ) A.3个B.4个C.5个D.6个
【解析】选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行.(2)其余各面是平行四边形.(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合.
2.下面图形中,为棱锥的是( ) A.①③B.③④C.①②④D.①②【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.
3.(教材二次开发:练习改编)一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥【解析】选D.由题意可知,每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
4.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________.(填序号) ①三角形;②四边形;③五边形.【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形. 答案:①②
1.棱柱的结构特征(1)棱柱的定义:由一个平面多边形沿_____________形成的空间图形叫作棱柱,平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面.(2)棱柱的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′.
(3)特殊的棱柱直棱柱:侧棱_____于底面的棱柱;斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是_________的直棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱.
【思考】棱柱的两个底面有什么关系?侧面有什么特点?提示:棱柱的两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形.
2.棱锥的结构特征(1)棱锥的定义:当棱柱的一个底面_____为一个点时,得到的空间图形叫作棱锥.(2)棱锥的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体.棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,例如三棱锥可表示为:三棱锥S-ABC.(3)特殊的棱锥正棱锥:底面是_________,并且顶点与底面中心的连线_____于底面的棱锥.
【思考】棱锥有什么结构特征呢?提示:棱锥的底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
3.棱台的结构特征(1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分称之为棱台.(2)棱台的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE-A′B′C′D′E′.
【思考】(1)棱台有什么特点呢?提示:原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面,其余各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱,侧面与上(下)底面的公共顶点叫作棱台的顶点.棱台的所有侧棱延长之后交于一点.
(2)在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢?以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明.提示:
4.多面体的定义由若干个___________围成的空间图形叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个面的_______叫作多面体的棱;棱与棱的_______叫作多面体的顶点.
【思考】在多面体中会有曲面吗?提示:不会,多面体是由若干个平面多边形构成的.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)棱柱的底面互相平行.( )(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形.( )(3)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )(4)长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.( )
提示:(1)√.(2)√.(3)×.有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体才叫棱锥;(4)×.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.
2.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【解析】选A.棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
3.(教材二次开发:习题改编)下面四个几何体中,是棱台的是 ( ) 【解析】选C.由棱台的结构特征知,两个底面平行且相似,侧面都是梯形.侧棱延长应交于一点.
类型一 棱柱的结构特征(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.下列说法正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形
2.下列关于棱柱的说法:(1)所有的面都是平行四边形;(2)每一个面都不会是三角形;(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是__________.
3.如图长方体ABCD-A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗?若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【解析】1.选D.选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
2.(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;(3)正确,由棱柱的定义易知;(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是(3)(4).答案:(3)(4)
3.(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱,因为它满足棱柱的定义.(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱,它的底面是△BEB1与△CFC1,侧棱是EF,B1C1,BC.截面左侧部分是四棱柱.它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1,侧棱是AD,BC,EF,A1D1.
【解题策略】棱柱结构特征问题(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.
【补偿训练】 如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
类型二 棱锥、棱台的结构特征(数学抽象、直观想象)【典例】下列关于棱锥、棱台的说法:(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是____________. 【思路导引】在判断空间图形的相关结论时,一定要紧扣定义.
【解析】(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;(3)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;(4)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 答案:(2)(3)
【解题策略】判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
【跟踪训练】1.下列说法中,正确的是( )①棱锥的各个侧面都是三角形;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;④棱锥的各侧棱长相等. A.①②B.①③C.②③D.②④
【解析】选B.由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故②错;四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错.
2.棱台不具有的性质是( )A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后相交于一点【解析】选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A,B,D都是棱台具有的性质,而侧棱长不一定相等.
3.(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.
【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图: , 则有8θ=360°,解得θ=45°,即设棱长为x,可得2 +x=1,解得x= -1.答案:26 -1
类型三 多面体的平面展开图问题(直观想象、逻辑推理)角度1 空间几何体的展开与折叠 【典例】(1)如图是三个空间图形的平面展开图,请问各是什么空间图形?
(2)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是( ) A.南B.北C.西D.下
【思路导引】(1)结合多面体的结构特征,将其平面图形还原为立体几何图形.(2)将正方体进行还原,就是正方体展开的逆推,一定要遵循展开的要求,是外面朝上.
【解析】(1)图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图进行还原,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
(2)选B.将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的为北面.
【变式探究】本例(2)的条件若改为里面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是什么呢?【解析】选A.将所给图形进行还原,注意里面朝上展开,所以标“△”的面为南面.
角度2 多面体表面距离最短问题 【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将正方体进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:
①若将C1D1剪开,使平面AB1与平面A1C1共面,可求得AC1= ②若将AD剪开,使平面AC与平面BC1共面,可求得AC1= ③若将CC1剪开,使平面BC1与平面AB1共面,可求得AC1= 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为
【解题策略】多面体展开图问题的解题策略1.绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.2.由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
【题组训练】1.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是( )A.1B.9C.快D.乐
【解析】选B.由题意,将正方体的展开图还原成正方体,如图:“1”与“乐”相对,“2”与“9”相对,“0”与“快”相对,所以下面是“9”.
2.一个空间图形的平面展开图如图所示. (1)该几何体是哪种多面体?(2)该多面体中与“祝”字面相对的是哪个面?“你”字面相对的是哪个面?
【解析】(1)该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”,与“你”字面相对的面是“程”.
备选类型 多面体的表面展开图(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
【思路导引】求△AEF的周长的最小值就是求AE+EF+AF的最小值,将三棱锥V-ABC展开,两点之间线段最短.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4 .所以△AEF周长的最小值为4 .
【解题策略】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点之间线段最短,所以处理方法就是将面展开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【跟踪训练】如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?
【解析】将长方体展开,连接AB′,因为AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6 cm,根据两点之间线段最短,AB′= =10(cm).所以所用细线最短需要10 cm.
1.下面的几何体中是棱柱的有( ) A.3个B.4个C.5个D.6个
【解析】选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行.(2)其余各面是平行四边形.(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合.
2.下面图形中,为棱锥的是( ) A.①③B.③④C.①②④D.①②【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.
3.(教材二次开发:练习改编)一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥【解析】选D.由题意可知,每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
4.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________.(填序号) ①三角形;②四边形;③五边形.【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形. 答案:①②
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