高中数学13.2 基本图形位置关系完美版课件ppt

这是一份高中数学13.2 基本图形位置关系完美版课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，两部分，两个半平面，任意一点，OA⊥l，OB⊥l，平面角，°≤α≤180°，直二面角，关键能力·合作学习等内容，欢迎下载使用。

1.二面角的概念(1)半平面:平面内的一条直线把这个平面分成_______,其中的每一部分都叫作半平面.
(2)二面角:一般地,一条直线和由这条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,每个半平面叫作二面角的面,如图①,②中,棱为l或AB,面为α、β记作α-l-β(α-AB-β)或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分别为在α,β内且不在棱上的点).
(3)二面角的平面角文字表述:一般地,以二面角的棱上_________为端点,在两个面内分别作__________的射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.图形语言:符号语言:α∩β=l,O∈l,OA⊂α,OB⊂β, ______,______⇒∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量二面角的大小可以用它的_______来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.二面角α的大小范围是_______________.平面角是直角的二面角叫作_________.
2.平面与平面垂直的判定定理(1)定义:一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.(2)画法:两个互相垂直的平面通常画成如图(1)、(2)所示.此时,把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,平面α与β垂直,记作α⊥β.
(3)平面与平面垂直的判定定理
【思考】　定义能否作为判定两个平面垂直的依据?提示:可以,定义既是判定也是性质.
3.平面与平面垂直的性质定理
【思考】　面面垂直的性质定理的推理特点是什么?提示:面面垂直推出线面垂直.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(　　)(2)已知一条直线垂直于某一个平面,则过该直线的任意一个平面与该平面垂直.(　　)(3)两个平面垂直,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面一定垂直.(　　)
提示:(1)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这两个二面角的平面角,因为这两个二面角的平面角所在的边平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(2)√.由面面垂直的判定定理可知,该命题正确.(3)×.不一定,只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.
2.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有(　　)A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC
【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.
3.(教材二次开发:例题改编)如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有(　　)A.2对B.3对C.4对D.5对
【解析】选D.由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.
类型一　面面垂直的判定定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.【思路导引】欲证平面MND⊥平面PCD,只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD即可,取PD的中点E,易知MN∥AE,故只需证明AE⊥平面PCD即可.
【证明】如图,取PD的中点E,连接AE,NE.因为E,N分别是PD,PC的中点,所以EN? CD.又AB? CD,AM= AB,所以EN? AM,所以四边形AMNE是平行四边形,所以MN∥AE.
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE.在等腰直角三角形PAD中,AE是斜边PD上的中线,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.又MN∥AE,所以MN⊥平面PCD.因为MN⊂平面MND,所以平面MND⊥平面PCD.
【解题策略】证明两平面垂直的两个常用方法1.利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定方法是:(1)找出两相交平面的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义,这两个相交平面互相垂直.
2.利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,这是证明面面垂直的常用方法,其步骤是:
【跟踪训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AA1=2AC,D是棱AA1的中点.求证:平面BDC1⊥平面BDC.
【证明】由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又因为DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC,因为DC1⊂平面BDC1,所以平面BDC1⊥平面BDC.
类型二　面面垂直性质的应用(直观想象、逻辑推理)【典例】如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.
【思路导引】(1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可.(2)先证BC⊥平面SAB,再利用线面垂直的性质即可证BC⊥SA.
【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB.又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
【解题策略】　应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤:面面垂直 线面垂直 线线垂直.(2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角.提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
【跟踪训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF,又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
类型三　求二面角的大小(逻辑推理、直观想象)【典例】如图所示,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AB=2,BC= ,PB= ,求二面角P-BC-A的大小.【思路导引】先利用二面角的平面角的定义找平面角,再通过解三角形求解.
【解析】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又因为AC⊥BC,PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC.又因为BC⊥AC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.
在Rt△PBC中,因为PB= ,BC= ,所以PC=2.在Rt△ABC中,AC= = ,所以在Rt△PAC中,cs∠PCA= 所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小为45°.
【解题策略】　解决二面角问题的策略
【跟踪训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面BAC,D,E分别为AB,AC的中点.(1)求证:AB⊥PE;(2)求二面角A-PB-E的大小.
【解析】(1)连接PD,因为PA=PB,D为AB的中点,所以PD⊥AB.因为DE∥BC,BC⊥AB,所以DE⊥AB.又因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PDE,因为PE⊂平面PDE,所以AB⊥PE.(2)因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊥AB,所以PD⊥平面ABC.则DE⊥PD,又ED⊥AB,PD∩AB=D,所以DE⊥平面PAB,过D作DF垂直PB于F,连接EF,则EF⊥PB,∠DFE为所求二面角的平面角,则DE= ,DF= ,则tan∠DFE= = ,故二面角A-PB-E的大小为60°.
1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　　)A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β【解析】选C.因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m⊂α,由面面垂直的判定定理得α⊥β.
2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.ME⊥平面ACB.ME⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能【解析】选A.由于ME⊂平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.
3.(教材二次开发:练习改编)下列说法:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角.其中正确的是________.(填序号) 
【解析】对于①,混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对于②,由于a,b分别垂直于两个平面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对于③,因为不垂直于棱,所以是错误的.答案:②
4.如图,在正四面体PABC(各棱长均相等)中,E是BC的中点,则平面PAE与平面ABC的位置关系是________. 
【解析】因为PB=PC,E是BC的中点,所以PE⊥BC,同理AE⊥BC,又AE∩PE=E,所以BC⊥平面PAE.又BC⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC.答案:垂直
5.如图,平面角为锐角的二面角α-EF-β,A∈EF,AG⊂α,∠GAE=45°,若AG与β所成角为30°,求二面角α-EF-β的平面角.