高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系优质课件ppt

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1.距离(1)点到平面的距离:从平面外一点引平面的垂线,这个点和_____间的距离,叫作这个点到这个平面的距离.(2)直线到平面的距离:一条直线和一个平面平行,这条直线上_________到这个平面的距离,叫作这条直线和这个平面的距离.
【思考】是不是任意直线与平面间都有距离?提示:不是,只有当直线与平面平行时才涉及距离问题.
2.直线与平面所成的角
【思考】直线l是平面的斜线,直线l与平面所成的角为α,直线a是平面内的任意一条直线,直线l与直线a所成的角为β,则α,β的大小关系是什么?提示:α≤β.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)一条直线和平面平行,或在平面内,则直线与平面所成的角为180°.(　　)(2)一条直线上任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个平面的距离. (　　)(3)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上. (　　)
提示:(1)×.一条直线和平面平行,或在平面内,则直线与平面所成的角为0°.(2)×.这条直线必须与平面平行时,直线上任意一点到这个平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.(3)√.
2.若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍,则AB与平面α所成的角是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.60°　B.45°　　C.30°　D.120°
【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形,如图所示,∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,因为AB=2BO,所以cs∠ABO= ,所以∠ABO=60°.
3.(教材二次开发:例题/习题改编)如图,▱ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE=________. 
【解析】因为AF⊥平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD,所以△EDC为直角三角形,CE= .答案:
类型一　点到平面的距离(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.正四面体ABCD的棱长为a,E是AD的中点,则点D到平面BCE的距离是(　　)A. 　B. 　C. 　 D.a
2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,则点M到平面A1B1D的距离为(　　)A. B. C. D.
3.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,SA=4,AB=3,D为AB的中点,∠ABC=90°,则点D到平面SBC的距离为________. 
【解析】1.选B.由题意在正四面体ABCD中,△ABD,△ACD均为正三角形所以BE⊥AD,CE⊥AD,因为BE∩CE=E,所以AD⊥平面BCE,则DE的长即为所求,DE= .
2.选A.连接B1C,过点M作ME⊥B1C于点E,因为A1D∥B1C,所以A1,D,B1,C四点确定一个平面,所以平面A1B1D即为平面A1B1CD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DC⊥平面BCC1B1,ME⊂平面BCC1B1,所以ME⊥DC,因为ME⊥B1C,所以ME⊥平面A1B1CD,则ME的长即为所求.在Rt△CEM中,CM= ,∠ECM=45°,所以ME= .
3.如图,过点D作DE⊥SB于点E,因为SA⊥底面ABC,且BC⊂平面ABC,所以BC⊥SA,因为∠ABC=90°,所以BC⊥AB,因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,所以平面SBC⊥平面SAB,SB为交线.因为DE⊥SB,所以DE⊥平面SBC,则DE的长即为所求,在Rt△ABS中,sin∠SBA= ,在Rt△DBE中,DE=BDsin∠EBD= ×3× = . 答案:
【解题策略】　求点到平面距离的两种方法(1)直接法:直接法求点到平面的距离是根据点到平面距离的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段,进而根据平面几何的知识计算垂线段的长度而求得点到平面的距离.(2)转化法:有时候限于几何体的形状,不易直接寻找出点在平面的射影,或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度,此时利用转化法将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离.
类型二　直线与平面所成的角(直观想象、逻辑推理)【典例】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.(1)求证:MN⊥平面A1BC;(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小.
【思路导引】(1)连接AC1证明AC1⊥平面A1BC. 连接AB1,再证明MN⊥平面A1BC.(2)连接BD,则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角.
【解析】(1)如图所示,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,AC∩CC1=C得,BC⊥平面ACC1A1.连接AC1,则BC⊥AC1.由已知,可知侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是矩形,M是A1B的中点,连接AB1,则点M是AB1的中点.又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.
(2)因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连接BD,则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角.设AC=BC=CC1=a,则C1D= a,BC1= a.在Rt△BDC1中,sin∠C1BD= ,所以∠C1BD=30°,故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.
【解题策略】　求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
【跟踪训练】如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱长为2,E,F分别为CC1,DD1的中点.(1)求证:A1F⊥平面BEF;(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值.
【解析】(1)连接AF.因为E,F分别为CC1,DD1的中点,所以EF∥AB且EF=AB,所以四边形ABEF为平行四边形.又在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AA1D1D,A1F⊂平面AA1D1D,所以AB⊥A1F,所以EF⊥A1F.由已知得AF= ,A1F= ,AA1=2,所以A1F2+AF2=A ,所以AF⊥A1F.又AF∩EF=F,所以A1F⊥平面ABEF,即A1F⊥平面BEF.
(2)因为A1F⊥平面BEF.所以A1B在平面BEF上的射影为BF,所以∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角.由已知得A1F= ,A1B= ,所以sin∠A1BF= ,即A1B与平面BEF所成角的正弦值为 .
1.平面α内的∠MON=60°,PO是α的斜线,PO=3,∠POM=∠PON=45°,那么点P到平面α的距离是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 　B. 　C. 　　D. 【解析】选A.cs∠POM=cs ∠POH·cs ∠MOH,所以 = cs ∠POH.所以cs ∠POH= .所以sin ∠POH= ,所以PH=PO·sin∠POH=3× = .
2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为 ,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是(　　) A.30°　B.45°　C.60°　D.90°
【解析】选A.取AC的中点D,连接DB,C1D,则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角,在△ABC中,易得BD= . 在△DCC1中,易得DC1= ,在Rt△BC1D中,tan∠BC1D= ,即∠BC1D=30°.
3.(教材二次开发:练习改编)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是________. 
【解析】如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD. 因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,由题意知PD⊥BC,且PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC.在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4,在Rt△PAD中PA=8,AD=4,所以PD= =4 .答案:4
4.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.