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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.3 空间图形的表面积和体积优秀ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.3 空间图形的表面积和体积优秀ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，正多边形，底面中心，侧棱长，正棱锥，ch′，c+c′h′，πrl，c+c′l，πr+r′l等内容，欢迎下载使用。
1.几种特殊的多面体(1)直棱柱:侧棱和底面_____的棱柱叫作直棱柱.(2)正棱柱:底面为_________的直棱柱叫作正棱柱.(3)正棱锥:一个棱锥的底面是_________,并且顶点在底面的射影是_________,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的_______都相等,侧面均为全等的等腰三角形.(4)正棱台:_______被平行于底面的平面所截,_____和_____之间的部分叫作正棱台.
2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
【思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系?提示:S圆柱侧=2πrl S圆台侧=π(r′+r)l S圆锥侧=πrl.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.( )(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )(3)圆台的高就是相应母线的长.( )提示:(1)√.(2)×.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.(3)×.圆台的高是指两个底面之间的距离.
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.3.(教材二次开发:例题改编)正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧面高为2,则其表面积为( )A.20B.24C.36D.44【解析】选D.S=2×2+4×4+4× (2+4)×2=20+4×6=44.
类型一 棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积(数学运算)【典例】已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm,它的侧棱与高所成的角为45°,求正三棱锥的表面积.【思路导引】先求出正三棱锥的高PO,从而求出侧面的斜高PD进而求出侧面积和底面积.
【解析】如图所示,设O为正三角形ABC的中心,连接PO,连接AO并延长交BC于D,连接PD,则PO是正三棱锥P-ABC的高.
由正三角形ABC的性质知,D是BC的中点,又PB=PC,故PD⊥BC,即PD是三棱锥的斜高.由已知∠APO=45°,AO= × ×4= (cm),所以PA= AO= × = (cm),所以PB= (cm).所以PD= = = (cm).
所以正三棱锥P-ABC的侧面积为:S侧=3S△PBC=3× ×4× =4 (cm2),底面积:S底= ×42× =4 (cm2).故S表面积=S侧+S底=4 +4 =4( + )(cm2).
【变式探究】若将本例中“侧棱与高所成的角为45°”改为“侧面都是直角三角形”,如何求三棱锥的表面积?【解析】由已知得正三棱锥的侧面为全等的等腰直角三角形,设正三棱锥的侧棱长为x,则x2+x2=42所以x=2 ,所以S侧=3× ×(2 )2=12(cm2).又因为S底=4 cm2,所以S表=S侧+S底=12+4 (cm2).
【解题策略】求多面体的表面积对于简单几何体,我们可利用公式,直接求出其表面积,而在求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
【跟踪训练】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高.
【解析】如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,则DD′是等腰梯形BCC′B′的高,
所以S侧=3× ×(20+30)×DD′=75DD′.又A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为S上+S下= ×(202+302)=325 (cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325 ,所以DD′= cm,又因为O′D′= ×20= (cm),OD= ×30=5 (cm),所以棱台的高h=O′O= = =4 (cm).
类型二 圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积(数学运算)【典例】如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.
【思路导引】利用圆锥与圆柱的轴截面求解.【解析】该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,则R=2,r=1,l=4,h= .所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1× =2 π.所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2 π=(12+2 )π.
【解题策略】 (1)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键.(2)解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题,通常是作出轴截面,转化为平面问题来求解.
【跟踪训练】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
【解析】如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,故c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(r1+r2)·AB+π +π =π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).故圆台的表面积为1100πcm2.
类型三 几何体侧面积和全面积的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂),桶口直径为30 cm,桶底直径为25 cm,母线长是27.5 cm,已知每平方米需要油漆150 g,共需要多少油漆?(精确到0.1 kg)【思路导引】求水桶的表面积→计算总油漆量.【解析】每个水桶需要涂油漆的面积为S=(S桶底+S侧)×2=π ×2 =0.182 5π(m2),因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg).
【解题策略】 对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题,求解的关键是把题设信息数学化,然后借助数学知识解决该问题.
【跟踪训练】 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔,求打孔后的几何体的表面积是多少?(π取3.14)
【解析】正方体的表面积为42×6=96(cm2),一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(cm2),则打孔后几何体的表面积为96+6.28×6=133.68(cm2).
备选类型 与空间几何体表面积相关的综合题(直观想象、数学运算)【典例】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明;(2)平面ABC为等边三角形,其余各面均是直角三角形.
【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高,所以当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DB∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,因为AD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,因为DB=DA=DC=1,所以AB=BC=CA= ,从而S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= ,S△ABC= × × = ,故三棱锥D-ABC的表面积S= ×3+ = .
【解题策略】(1)棱柱、棱锥和棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.棱柱、棱锥、棱台均是多面体,多面体的表面积的求法有两种:一种是分开算,把各个面的面积分别计算出来,再求其和;另一种是将它们沿某些棱剪开,计算平面展开图的面积.(2)多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图,或者关键的线面长,如底面边长、高等.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等.
【跟踪训练】一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时圆柱侧面积最大?求出最大值.
【解析】(1)母线l= =2 ,S侧面积=π×2×2 =4 π(cm2);(2)设圆柱的底面半径为r cm,则 = ,所以r=2- ,则圆柱的侧面积为S=2π ·x=- ,所以当x=3 cm时,S最大=6π cm2.
1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于( ) A.42πB.51πC.58πD.67π【解析】选D.S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)×6+π×32+π×42=67π.
2.(教材二次开发:练习改编)已知各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC),棱长为a,则其表面积为________.
【解析】过点S作SD⊥BC,交BC于点D,如图所示.因为BC=a,SD= = = a,所以S△SBC= BC·SD= a× a= a2.因此,四面体SABC的表面积S=4× a2= a2.答案: a2
3.一个圆柱的底面面积是S,其侧面积展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为________. 【解析】设圆柱的底面半径为R,则S=πR2,R= ,底面周长c=2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧=c2=(2πR)2=4π2 =4πS.答案:4πS
4.一座仓库的屋顶呈正四棱锥形,底面的边长为2.7 m,侧棱长为2.3 m,如果要在屋顶上铺一层油毡纸,则需多少油毡纸?(精确到0.1 m2)
1.几种特殊的多面体(1)直棱柱:侧棱和底面_____的棱柱叫作直棱柱.(2)正棱柱:底面为_________的直棱柱叫作正棱柱.(3)正棱锥:一个棱锥的底面是_________,并且顶点在底面的射影是_________,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的_______都相等,侧面均为全等的等腰三角形.(4)正棱台:_______被平行于底面的平面所截,_____和_____之间的部分叫作正棱台.
2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积
【思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系?提示:S圆柱侧=2πrl S圆台侧=π(r′+r)l S圆锥侧=πrl.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.( )(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )(3)圆台的高就是相应母线的长.( )提示:(1)√.(2)×.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.(3)×.圆台的高是指两个底面之间的距离.
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.3.(教材二次开发:例题改编)正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧面高为2,则其表面积为( )A.20B.24C.36D.44【解析】选D.S=2×2+4×4+4× (2+4)×2=20+4×6=44.
类型一 棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积(数学运算)【典例】已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm,它的侧棱与高所成的角为45°,求正三棱锥的表面积.【思路导引】先求出正三棱锥的高PO,从而求出侧面的斜高PD进而求出侧面积和底面积.
【解析】如图所示,设O为正三角形ABC的中心,连接PO,连接AO并延长交BC于D,连接PD,则PO是正三棱锥P-ABC的高.
由正三角形ABC的性质知,D是BC的中点,又PB=PC,故PD⊥BC,即PD是三棱锥的斜高.由已知∠APO=45°,AO= × ×4= (cm),所以PA= AO= × = (cm),所以PB= (cm).所以PD= = = (cm).
所以正三棱锥P-ABC的侧面积为:S侧=3S△PBC=3× ×4× =4 (cm2),底面积:S底= ×42× =4 (cm2).故S表面积=S侧+S底=4 +4 =4( + )(cm2).
【变式探究】若将本例中“侧棱与高所成的角为45°”改为“侧面都是直角三角形”,如何求三棱锥的表面积?【解析】由已知得正三棱锥的侧面为全等的等腰直角三角形,设正三棱锥的侧棱长为x,则x2+x2=42所以x=2 ,所以S侧=3× ×(2 )2=12(cm2).又因为S底=4 cm2,所以S表=S侧+S底=12+4 (cm2).
【解题策略】求多面体的表面积对于简单几何体,我们可利用公式,直接求出其表面积,而在求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
【跟踪训练】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高.
【解析】如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,则DD′是等腰梯形BCC′B′的高,
所以S侧=3× ×(20+30)×DD′=75DD′.又A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为S上+S下= ×(202+302)=325 (cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325 ,所以DD′= cm,又因为O′D′= ×20= (cm),OD= ×30=5 (cm),所以棱台的高h=O′O= = =4 (cm).
类型二 圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积(数学运算)【典例】如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.
【思路导引】利用圆锥与圆柱的轴截面求解.【解析】该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,则R=2,r=1,l=4,h= .所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1× =2 π.所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2 π=(12+2 )π.
【解题策略】 (1)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键.(2)解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题,通常是作出轴截面,转化为平面问题来求解.
【跟踪训练】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?
【解析】如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,故c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(r1+r2)·AB+π +π =π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).故圆台的表面积为1100πcm2.
类型三 几何体侧面积和全面积的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂),桶口直径为30 cm,桶底直径为25 cm,母线长是27.5 cm,已知每平方米需要油漆150 g,共需要多少油漆?(精确到0.1 kg)【思路导引】求水桶的表面积→计算总油漆量.【解析】每个水桶需要涂油漆的面积为S=(S桶底+S侧)×2=π ×2 =0.182 5π(m2),因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg).
【解题策略】 对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题,求解的关键是把题设信息数学化,然后借助数学知识解决该问题.
【跟踪训练】 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔,求打孔后的几何体的表面积是多少?(π取3.14)
【解析】正方体的表面积为42×6=96(cm2),一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(cm2),则打孔后几何体的表面积为96+6.28×6=133.68(cm2).
备选类型 与空间几何体表面积相关的综合题(直观想象、数学运算)【典例】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°.(1)证明:平面ADB⊥平面BDC;(2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明;(2)平面ABC为等边三角形,其余各面均是直角三角形.
【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高,所以当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,又DB∩DC=D,所以AD⊥平面BDC,因为AD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BDC.
(2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA,因为DB=DA=DC=1,所以AB=BC=CA= ,从而S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= ,S△ABC= × × = ,故三棱锥D-ABC的表面积S= ×3+ = .
【解题策略】(1)棱柱、棱锥和棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.棱柱、棱锥、棱台均是多面体,多面体的表面积的求法有两种:一种是分开算,把各个面的面积分别计算出来,再求其和;另一种是将它们沿某些棱剪开,计算平面展开图的面积.(2)多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图,或者关键的线面长,如底面边长、高等.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等.
【跟踪训练】一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时圆柱侧面积最大?求出最大值.
【解析】(1)母线l= =2 ,S侧面积=π×2×2 =4 π(cm2);(2)设圆柱的底面半径为r cm,则 = ,所以r=2- ,则圆柱的侧面积为S=2π ·x=- ,所以当x=3 cm时,S最大=6π cm2.
1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于( ) A.42πB.51πC.58πD.67π【解析】选D.S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)×6+π×32+π×42=67π.
2.(教材二次开发:练习改编)已知各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC),棱长为a,则其表面积为________.
【解析】过点S作SD⊥BC,交BC于点D,如图所示.因为BC=a,SD= = = a,所以S△SBC= BC·SD= a× a= a2.因此,四面体SABC的表面积S=4× a2= a2.答案: a2
3.一个圆柱的底面面积是S,其侧面积展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为________. 【解析】设圆柱的底面半径为R,则S=πR2,R= ,底面周长c=2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧=c2=(2πR)2=4π2 =4πS.答案:4πS
4.一座仓库的屋顶呈正四棱锥形,底面的边长为2.7 m,侧棱长为2.3 m,如果要在屋顶上铺一层油毡纸,则需多少油毡纸?(精确到0.1 m2)
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