苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积优秀课件ppt

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1.柱体、锥体、台体的体积
【思考】　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.提示:V=Sh V= (S′+ +S)h V= Sh.
2.球的体积和表面积若球的半径为R,则(1)球的体积V=________.(2)球的表面积S=_____.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.(　　)(3)球的体积之比等于半径比的平方.(　　)提示:(1)×.锥体的体积等于底面面积与高之积的 .(2)√.球的大圆半径等于球的半径.(3)×.球的体积之比等于半径比的立方.
2.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π【解析】选B.由题意知,球的半径r=3.则S球=4πr2=4π×32=36π,V球= πr3= π×33=36π.
3.(教材二次开发:例题/习题改编)若正方体的体对角线长为a,则它的体积为________. 【解析】设正方体的边长为x,则 x=a,故x= ,V= a3.答案: a3
类型一　棱柱、棱锥和棱台的体积(数学运算、直观想象)【典例】如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B1CD的体积.
【思路导引】方法一: 方法二:利用等体积法求解,
【解析】因为AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,所以AB=A1B1=5.方法一:由题意可知
方法二:在△ABC中过C作CF⊥AB,垂足为F,由平面ABB1A1⊥平面ABC知,CF⊥平面A1B1BA.在△ABC中,CF=
【解题策略】　几何体的体积的求法(1)直接法:直接套用体积公式求解.(2)等体积转移法:在三棱锥中,每一个面都可作为底面.为了求解的方便,我们经常需要换底,此法在求点到平面的距离时也常用到.(3)分割法:在求一些不规则的几何体的体积时,我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体.(4)补形法:对一些不规则(或难求解)的几何体,我们可以通过补形,将其补为规则(或易于求解)的几何体.
【跟踪训练】　如图,在三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱锥P-ABC的体积.
【解析】因为AB=AC,∠BAC=60°, 所以△ABC为正三角形,设D为BC的中点,连接AD,PD,作PO⊥平面ABC.因为∠PAB=∠PAC且AB=AC,所以O∈AD.作PE⊥AB于点E,连接OE,则OE⊥AB.在Rt△PAE中,PE=asin 60°= a,AE= .在Rt△AEO中,OE= tan 30°= a.所以OP=
又S△ABC= BC·AD= a2.所以VP-ABC= ·S△ABC·OP= a3.
类型二　圆柱、圆锥和圆台的体积(数学运算、直观想象)【典例】圆台上底的面积为16π cm2,下底半径为6 cm,母线长为10 cm,那么圆台的侧面积和体积各是多少?【思路导引】解答本题作轴截面可以得到等腰梯形,为了得到高,可将梯形分割为直角三角形和矩形,利用它们方便解决问题.
【解析】如图,由题意可知,圆台的上底圆半径为4 cm,于是S圆台侧=π(r+r')l=100π(cm2).圆台的高h=BC= = V圆台=
【解题策略】　求台体的体积关键是求高,为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算.对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.
【跟踪训练】　如图,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.
【解析】如图所示,所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体,高的和AB=5,底面半径DC= 故S表=π·DC·(BC+AC)= π,V= π·CD2·DA+ π·CD2·BD= π·CD2·(DA+BD)= π.
类型三　球的表面积和体积(数学运算、直观想象) 　角度1　球的表面积和体积 【典例】(1)已知球的体积是 ,则此球的表面积是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.12πB.16πC. D.
(2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么球的体积扩大到原来的(　　)A.2倍B. 倍C.2 倍D. 倍【思路导引】结合球的表面积和体积公式计算求解.
【解析】(1)选B.设球的半径为R,由已知得V= πR3= ,解得R=2.所以球的表面积S=4πR2=16π.(2)选C.设原来球的半径为r,扩大后球的半径为R,依题意可知 =2,所以R= r.所以 即球的体积扩大到原来的2 倍.
　角度2　几何体的外接球内切球的问题 【典例】已知正四面体的棱长为a,四个顶点都在同一个球面上,试求这个球的表面积和体积.【思路导引】正四面体的顶点都在同一个球面上,球心和正四面体的中心是同一个点,球心与正四面体各顶点的距离即球的半径.
【解析】如图所示,设正四面体P-ABC的高为PO1,球的球心为O,半径为R,则AO1= AB= a.在Rt△PO1A中,PO1= 在Rt△OO1A中,AO2即R2= 解得R= a.所以球的表面积S=4πR2=4π 体积V= πR3= π = πa3.
【解题策略】　处理有关几何体外接球的问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总是在几何体的特殊位置,比如中心、对角线中点等.该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径.
【题组训练】1.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为________. 【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得 所以 所以它们的体积和为 πR3+ πr3= 答案:
2.已知球的大圆周长为16π cm,求这个球的表面积.【解析】设球的半径为R cm,由题意可知2πR=16π,解得R=8,则S球=4πR2=256π(cm2).
3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　)A.πa2B. πa2C. πa2D.5πa2
【解析】选B.由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP= OP= a,所以球的半径R=OA满足R2= 故S球=4πR2= πa2.
4.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.
【解析】如图,设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于点O1,由于OA=OB=OC=R,则O1是△ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM.设O1M=x,易知O1M⊥AB,则O1A= ,O1C=CM-O1M= -x.又O1A=O1C,所以 = -x,解得x= .所以O1A=O1B=O1C= 在Rt△OO1A中,O1O= ,∠OO1A=90°,OA=R,
由勾股定理得 解得R= (负值舍去),则S球=4πR2=54π,V球= πR3=27 π.
1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为(　　)　　　　 【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是
2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(　　)A. B.16πC.9πD. 【解析】选A.如图,设球心为O,半径为r,则在Rt△AOE中,(4-r)2+( )2=r2,解得r= ,所以该球的表面积为4πr2=4π×
3.(教材二次开发:练习改编)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 则这个长方体的体对角线长是________. 【解析】所以体对角线l= 答案:
4.如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1C1C的体积是________. 
【解析】因为三棱锥B-A1C1C与三棱锥B-A1AC等底同高,故 所以 而三棱锥A1-ABC的底面就是正三棱柱的底面,它的高就是正三棱柱的高,S△ABC= 所以 答案: