2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》二(含答案)

2021年高考数学解答题专项练习

《立体几何》二

1.如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

2.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a.

(1)求a的值；

(2)求三棱锥B1­A1BC的体积．

3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面；   

（Ⅱ）求证：平面⊥平面．

4.如图,已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.

5.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

6.已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF//面AEC？证明你的结论,并说出点F的位置.

7.如图，在多面体ABCDEFG中，底面ABCD为平行四边形，，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF.

（1）在线段AD上是否存在点M，使得GM∥平面ABFE？说明理由；

（2）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小. [来源:Z+xx+k.Com]

8.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，2BC=AD，2BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．

（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由

9.在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB=2CD=2BC=2AD=4，∠DAB=60°，AE=BE,△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面PEC∩平面PAD=l。

（1）求证：l//EC；

（2）求二面角P-EC-D的余弦值；

（3）是否存在线段PC（端点P,C除外）上一点M，使得DE⊥AM，若存在，指出点M的位置，若不存在，请明理由。

10.如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，底面，且

 （1）求多面体EABCDF的体积；

 （2）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；

（3）记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图的痕迹，但不要求证明.

11.如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点F在棱AE，且EF=λFA.

(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；

(2)当λ=1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．

12.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，分别为棱的中点.

（1）平面；

（2）平面.

13.如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(I)求证：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

14.如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D,E的平面交CD1于F.

(1)证明：EF//B1C;

(2)求二面角E-A1D-B1余弦值.

15.如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．

 (1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值．

答案解析

16.解：

(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．

由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1．

故所求几何体的表面积S=5×22＋2×2×＋2××()2=22＋4(cm2)，

所求几何体的体积V=23＋×()2×2=10(cm3)．

17.解：

(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°.

又AA1⊥平面ABC，AB=AC，则A1B=A1C，

∴△A1BC为等边三角形，

由AB=AC=1，∠BAC=90°⇒BC=，

∴A1B=⇒=⇒a=1.

(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB=A，

∴CA⊥平面A1B1B，

∴VB1­A1BC=VC­A1B1B=××1=.

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21.解:如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GF//CE,交PC于点F,连接BF.∵BG//OE,BG⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BG//平面AEC.

同理,GF//平面AEC,又BG∩GF=G.∴平面BGF//平面AEC,∴BF//平面AEC.

∵ BG//OE,O是BD中点,∴E是GD中点.

又∵PE∶ED=2∶1,∴G是PE中点.而GF//CE,∴F为PC中点.

综上,当点F是PC中点时,BF//平面AEC.

22.解：

23.（1）证明：由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD

故GH∥BC，GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C，D，F，E四点共面．理由如下：

由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GF，BE=GF，所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG

由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．

又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．

24.解：

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26.解：(1)当λ=时，CE∥平面BDF.证明如下：

连接AC交BD于点G，连接GF(图略)，

∵CD∥AB，AB=2CD，∴==，

∵EF=FA，∴==，∴GF∥CE，

又CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，

∴CE∥平面BDF.

 (2)如图，取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB，

∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，

∴EO⊥平面ABCD，

连接DO，∵BO∥CD，且BO=CD=1，∴四边形BODC为平行四边形，∴BC∥DO，

又BC⊥AB，∴AB⊥OD，

则OD，OA，OE两两垂直，

以OD，OA，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O­xyz，

则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，D(1,0,0)，C(1，－1，0)，E(0,0，)．

当λ=1时，有=，∴F，

∴=(1,1,0)，=(－1,1，)，=.

设平面BDF的法向量为n=(x，y，z)，

则有即

令z=，得y=－1，x=1，则n=(1，－1，)为平面BDF的一个法向量，

设直线CE与平面BDF所成的角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|=，

故直线CE与平面BDF所成角的正弦值为.

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（II）方法一：过点作，连结．

因为平面，所以，则平面，所以．

所以，是二面角的平面角．

在中，，，得．

在中，，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值为．

29.

30.（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）－．