2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》三(含答案)

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2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》三1.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG．               2.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积.           3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P－ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．              4.有一矩形ABCD硬纸板材料(厚度忽略不计)，边AB的长为6分米，其邻边足够长．现从中截取矩形EFHG(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°为圆心角的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N.(1)当BE的长为1分米时，求折成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？               5.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.             6.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.            7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，∠PAD=∠DAC=60°,CE⊥AD于E.（1）求证：AD⊥PC；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C-PD-A的余弦值.        8.如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；             9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(I)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；(II)记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1：V2的值.     10.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．           11.如图，在四棱锥中，底面是长方形，侧棱底面，且，过D作于F，过F作交 PC于E.（Ⅰ）证明：平面PBC；（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.       12.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点.（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.         13.如图所示的三棱柱中，侧面为边长等于2的菱形，且为等边三角形，面．(1)求证：；(2)求侧面和侧面所成的二面角的余弦值．        14.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1) 证明：PB∥平面AEC;(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.                     
答案解析15.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC=FG，又FG∥EH，FG=EH，所以BC∥EH，BC=EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH．又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又BE∩BG=B，所以平面BEG∥平面ACH．(3)证明：连接FH．因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH．因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH=H，所以EG⊥平面BFHD．又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG=G，所以DF⊥平面BEG．  16.解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB=BC=AD及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=x，PM=x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN=x.因为△PCD的面积为2，所以×x×x=2，解得x=－2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2，AD=4，PM=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4. 17.解：(1)证明：由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB∥CD，故AB⊥PD，又AP∩PD=P，从而AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E．由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，AB∩AD=A，可得PE⊥平面ABCD．设AB=x，则由已知可得AD=x，PE=x．故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD=AB·AD·PE=x3．由题设得x3=，故x=2．从而结合已知可得PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PB=PC=2．可得四棱锥P－ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin60°=6＋2．18.解：(1)在题图甲中，连接MO交EF于点T.设OE=OF=OM=R分米，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=OM－OT=.从而BE=MT=，即R=2BE=2.故所得柱体的底面积S=S扇形OEF－S△OEF=πR2－R2sin 120°=平方分米．又柱体的高EG=4分米，所以V=S·EG=立方分米．故当BE长为1分米时，折成的包装盒的容积为立方分米．(2)设BE=x分米，则R=2x分米，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF－S△OEF=πR2－R2sin 120°=x2平方分米．又柱体的高EG=(6－2x)分米，所以V=S·EG=(－x3＋3x2)，其中0＜x＜3.令f(x)=－x3＋3x2，x∈(0,3)，则由f′(x)=－3x2＋6x=－3x(x－2)=0，解得x=2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：所以当x=2时，f(x)取得极大值，也是最大值．故当BE的长为2分米时，折成的包装盒的容积最大．  19.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD=D，所以平面BDE∥平面MNG.  20.（1）根据，知与确定一个平面，连接，得到，，从而平面，证得.21.解： 22.    23.24.25.          26.解:（1）连接SO，∵底面ABCD是菱形，O为AC与BD的交点，∴AC⊥BD.又SA=SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD.（2）取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM，EN，∵E是BC中点，M是SC中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD.∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM，同理AC⊥EN.又EM∩EN=E，∴AC⊥平面EMN.因此，当P点在线段MN上运动时，总有PE⊥AC. 27.                   28.