2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》四(含答案)

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2021年高考数学解答题专项练习《立体几何》四1.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点. 已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：(1)三棱锥P-ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.           2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点.(1)设F是棱AB的中点，证明直线EE1∥平面FCC1；(2)求证：平面D1AC⊥平面BB1C1C.              3.如图，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.            4.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA=120°，且三棱锥S­BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．              5.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求四面体N-BCM的体积.          6.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E,F分别为AB,CD的中点，求证：AF∥平面PEC．              7.将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，弧AC长为，弧A1B1长为，其中与在平面的同侧(1) 求三棱锥的体积(2) 求异面直线与所成角的大小        8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．(1)求证：EF⊥平面PAC；   (2)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM:PD的值．             9.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（1）证明：平面AEC⊥平面AFC;（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.      10.平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=，A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A,A1B,A1C,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（1）证明：AA1⊥BC；（2）求AA1的长；（3）求二面角A-BC-A1的余弦值.         11.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上（异于点，），平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若平面平面，求证：.          12.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，AB∥CD，AB=2CD，BC⊥CD，∠DBC=30°，点E，F分别为AD，PB中点．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面PEB．          13.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，过A1C作平面A1CD平行于BC1，交AB于D点.（1）求证：CD⊥AB；（2）若四边形BCC1B1是正方形，且，求二面角D-A1C-B1的余弦值.            14.如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,EA的中点。（1）求证:EB//平面MOC.（2）求证：平面MOC⊥平面 EAB;（3）求三棱锥E-ABC的体积.           15.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．   
答案解析16.解：(1)S△ABC=×2×2=2，三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2=.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，cos∠ADE==.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 17.答案：证明：(1)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD=A1F1，CD∥A1F1，四边形A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D.又因为E，E1分别是棱AD，AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1.又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.(2)在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC.因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，∠BCF=60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC.又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.18.证明　(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD. 19.解：(1)证明：设BC=a，则CD=a，AB=2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD=90°，则BD=a，∠CBD=45°，所以∠ABD=∠ABC－∠CBD=45°，在△ABD中，AD==a，因为AD2＋BD2=4a2=AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a，在△SAD中，∠SDA=120°，SA=2SDsin 60°=a，作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH=SDsin 60°=a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH，又AD∩BD=D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥S­BCD的高，所以VS­BCD=×a××a2=，解得a=1，由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB===2，又AB=2，SA=，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为 =，则△SAB的面积为××=.  20.（I）见解析；（II）。21.22.            23. 24. 25.【解题指南】（1）通过线线垂直证明线面垂直进而得到线线垂直；（2）构造Rt△AA1D,在△AA1D中求AA1；（3）先找到平面角，然后在三角形中求出.【解析】（1）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,A1O,A1O1，则由AB=AC知AO⊥BC，由面ABC⊥面BB1C1C可知AO⊥面BB1C1C；同理，A1O1⊥面BB1C1C，由此可得AO∥A1O1，即A,O,A1,O1共面.又OO1⊥BC,OO1∩AO=O，则BC⊥面AOA1O1，所以AA1⊥BC；（2）延长A1O1到D，使O1D=OA，则O1DOA,ADOO1；OO1⊥BC，面A1B1C1⊥面BB1C1C，则OO1⊥面A1B1C1，AD⊥面A1B1C1，在Rt△AA1D中， （3）因为AO⊥BC,A1O⊥BC，则∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角.在Rt△OO1A1中，在Rt△OAA1中，所以二面角A-BC-A1的余弦值为.26.27.证明：（Ⅰ）取PA 中点M，连结MF、MD．由题意，MF∥CD且MF=CD，所以MDCF 为平行四边形．所以CF∥MD．
又因为CF?平面PAD，MD?平面PAD，所以CF∥平面PAD．（Ⅱ）因为侧面PAD 为等边三角形，所以PE⊥AD．
由已知可得BD=2CD=AB，所以BE⊥AD，
而BE∩PE=E，故AD⊥平面PBE．
因为AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PEB． 28.29. 30.