2021年中考数学：专题06 二元一次方程组（专题测试 原卷及解析卷）

专题06 二元一次方程组

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　）

A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3

【答案】D

【分析】

根据各选项分别计算，即可解答．

【详解】

方程组利用加减消元法变形即可．

解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；

B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；

C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；

D、①﹣②×3无法消元，符合题意．

故选：D．

2．（2020·天津中考真题）方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用加减消元法解出的值即可．

【详解】

解：

①+②得：，解得：，

把代入②中得：，解得：，

∴方程组的解为：；

故选：A．

3．（2020·四川绵阳市·中考真题）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（　　）

A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱

【答案】C

【分析】

设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】

解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，

依题意，得：，

解得：．

故选：C．

4．（2020·湖南益阳市·中考真题）同时满足二元一次方程和的，的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

联立和解二元一次方程组即可．

【详解】

解：有题意得：

由①得x=9+y③

将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5

则x=9+（-5）=4

所以x=4，y=-5．

故选：A．

5．（2020·湖北随州市·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有只，兔有只，则根据题意，下列方程组中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．

【详解】

解：设鸡有只，兔有只

根据上有三十五头，可得x+y=35；

下有九十四足，2x+4y=94

即．

故答案为A．

6．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）学校计划用200元钱购买、两种奖品，种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

【答案】B

【分析】

设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．

【详解】

设购买了种奖品个，种奖品个，

根据题意得：，

化简整理得：，得，

∵，为非负整数，

∴，，，

∴有3种购买方案：

方案1：购买了种奖品0个，种奖品8个；

方案2：购买了种奖品5个，种奖品5个；

方案3：购买了种奖品10个，种奖品2个.

故选：B.

7．（2019·山东菏泽市·中考真题）已知是方程组的解，则的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

【答案】A

【分析】

把代入方程组，可得关于a、b的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求出答案．

【详解】

将代入，

可得：，

两式相加：，

故选A．

8．（2019·甘肃兰州市·中考真题）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为(    )

A． B． C．D．

【答案】C

【分析】

根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．

【详解】

根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1

(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x,

故选C.

9．（2019·四川巴中市·中考真题）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（    ）

A．1 B．2 C．﹣1 D．0

【答案】B

【分析】

将代入即可求出a与b的值；

【详解】

解：将代入得：

，

∴；

故选B．

10．（2019·浙江台州市·中考真题）一道来自课本的习题：

从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少?

小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据未知数，，从乙地到甲地需，即可列出另一个方程.

【详解】

设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．

故选B．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·北京中考真题）方程组的解为________．

【答案】

【分析】

用加减消元法解二元一次方程组即可．

【详解】

解：两个方程相加可得，

∴，

将代入，

可得，

故答案为：．

12．（2020·湖南岳阳市·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．

【答案】

【分析】

设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．

【详解】

设买美酒x斗，买普通酒y斗，

依题意得：，

故答案是：．

13．（2020·四川成都市·中考真题）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．

【答案】

【分析】

设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．

【详解】

设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，

．

故答案为：．

14．（2020·浙江绍兴市·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．

【答案】答案不唯一，如x﹣y．

【分析】

根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用x，y代换即可.

【详解】

∵关于x，y的二元一次方程组的解为，

而1﹣1＝0，

∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．

故答案为：答案不唯一，如x﹣y.

15．（2020·甘肃天水市·中考真题）已知，，则的值为_________．

【答案】1

【分析】

观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．

【详解】

解：①，②，

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案为：1．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·浙江台州市·中考真题）解方程组：

【答案】

【解析】

试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解.

试题解析：

①+②得：，所以 .

把代入①得：.

所以，该方程组的解为

17．（2020·江苏淮安市·中考真题）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？

【答案】中型12辆，小型18辆.

【分析】

根据题意设中型x辆，小型y辆，即可列出方程组求出答案.

【详解】

设中型x辆，小型y辆，根据题意可得：

，

解得 ，

故中型汽车12辆，小型汽车18辆.

18．（2020·江西中考真题）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

【答案】（1）5元，3元；
（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品．

【分析】

（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答；

（2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

【详解】

（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元，

有，解得；

故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．

（2）两人共有金额19+26+2=47元，

若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，

故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品；

故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品．

【点睛】

（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键；

（2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键．

19．（2020·江苏扬州市·中考真题）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足①，②，求和的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组，则________，________；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．

【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11

【分析】

（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；

（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；

（3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．

【详解】

（1）

①-②，得x-y=-1

①+②，得3x+3y=15

∴x+y=5

故答案为：-1，5

（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则

①×2，得40x+6y+4z=64③

③-②，得x+y+z=6

∴5(x+y+z)=30

∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元

（3）∵

∴①，②，

∴②-①，得③

∴④

①+②，得⑤

⑤-④，得

∴

故答案为：-11

20．（2020·湖北黄石市·中考真题）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”

根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．

【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．

【分析】

(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可．

(2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可．

【详解】

(1)设每头牛x银两,每只羊y银两．

解得:

答:每头牛3两银子,每只羊2两银子．

(2)设买牛a头,买养b只．

3a+2b=19,即．

解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8．

答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只．