2021年中考数学：专题08 整式的乘除与因式分解（知识点串讲）

专题08 整式的乘除与因式分解

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 整式乘法

幂的运算性质（基础）：

         am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【同底数幂相乘注意事项】

1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

         (am)n＝amn      （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

         (ab)n＝anbn  （n为正整数）  积的乘方等于各因式乘方的积．

         am ÷an＝am－n  （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．

【同底数幂相除注意事项】

1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.

2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.

4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。

         a0＝1  （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．

知识点二 整式乘除

         单项式×单项式

单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘法易错点：

【注意】

1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。

         单项式×多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加

【单项式乘以多项式注意事项】

1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）

3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。

         多项式×多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

【多项式乘以多项式注意事项】

多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。

         乘法公式

①     完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

                （a－b）2＝a2－2ab＋b2

【扩展】

扩展一(公式变化)： +

+2ab

扩展二： + = 2(+ )

- = 4ab

扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc

② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

【运用平方差公式注意事项】

1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．

         单项式÷单项式

一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

【同底数幂相除注意事项】

1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.

2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.

4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。

         多项式÷单项式

一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

【解题思路】

多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。

         整式的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。

知识点四 因式分解（难点）

因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

【因式分解的定义注意事项】

1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

2.因式分解必须是恒等变形；

3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

因式分解的常用方法：

提公因式法

【提公因式法的注意事项】

1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。                   

2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。                                           

3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。

4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 

公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；

①平方差公式：   a2－b2＝（a＋b）（a－b）

②     完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2

                  a2－2ab＋b2＝（a－b）2

【考查题型】

考查题型一 幂的运算法则

【解题思路】熟练掌握幂的运算法则是解答此类题的关键

典例1．（2020·广东深圳市·中考真题）下列运算正确的是（   ）

A．a+2a=3a2 B．

C． D．

变式1-1．（2020·江苏苏州市中考真题）下列运算正确的是（  ）

A． B． C． D．

变式1-2．（2020·河北中考真题）若为正整数，则（    ）

A． B． C． D．

变式1-3．（2020·陕西中考真题）计算：（﹣x2y）3＝（　　）

A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4

变式1-4．（2020·山东临沂市·中考真题）计算的结果是（ ）

A． B． C． D．

变式1-5．（2020·河北中考真题）墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（    ）

A．＋ B．－ C．× D．÷

变式1-6．（2020·安徽中考真题）计算的结果是（  ）

A． B． C． D．

变式1-7．（2020·四川乐山市·中考真题）已知，．若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

考查题型二 运用幂的运算法则比较大小

典例2．（2019·杭州市中考模拟）若，，则下列结论正确是（   ）

A．a＜b B． C．a＞b D．

变式2-1．（2017·湖北中考模拟）已知则的大小关系是（  ）

A． B． C． D．

考查题型三 计算单项式乘单项式

【解题思路】数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

典例3．（2020·浙江台州市·中考真题）计算2a2·3a4的结果是（    ）

A．5a6 B．5a8 C．6a6 D．6a8

变式3-1．（2019·四川泸州市·中考真题）计算的结果是(　　)

A． B． C． D．

考查题型四 计算单项式乘多项式

【解题思路】掌握运算法则是解题的关键

典例4．（2019·山东青岛市·中考真题）计算的结果是（      ）

A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5

典例4-1．（2019·广西柳州市·中考真题）计算：（　　）

A． B． C． D．

考查题型五 计算多项式乘多项式

【解题思路】掌握运算法则是解题的关键

典例5．（2019·台湾中考真题）计算的结果，与下列哪一个式子相同？（　　）

A． B． C． D．

典例5-1．（2020·黑龙江牡丹江市中考真题）下列运算正确的是（   ）

A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．

C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9

考查题型六 利用平方差公式求解

【解题思路】灵活运用平方差公式是解题的关键

典例6．（2020·河北中考真题）若，则（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

变式6-1．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）

A．                  B．

B．C． D．

变式6-2．（2020·江苏淮安市·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（   ）

A．205 B．250 C．502 D．520

考查题型七 利用完全平方公式求解

【解题思路】灵活运用完全平方公式是解题的关键

典例7．（2019·贵州贵阳市·中考真题）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（      ）

A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式

C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式

变式7-1．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是      

变式7-2．（2020·山东枣庄市·中考真题）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝_____．

变式7-3．（2020·山东枣庄市·中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是

A． B． C． D．

考查题型八 利用公式法分解因式

【解题思路】熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．

典例8．（2020·柳州市柳林中学中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）

A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2

变式8-1．（2020·广西中考真题）因式分解a2﹣4的结果是（　　）

A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2 C．（a+2）2 D．a（a﹣2）

变式8-2．（2020·西藏中考真题）下列分解因式正确的一项是（　　）

A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）

C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2

考查题型九 综合提公因式和公式法分解因式

【解题思路】公式法和提公因式法分解因式关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．

典例9．（2020·湖南益阳市·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

变式9-1．（2019·四川泸州市·中考真题）把分解因式，结果正确的是(　　)

A． B．

C． D．

变式9-2．（2019·山东潍坊市·中考真题）下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

考查题型十 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法

典例10．（2018·山东中考模拟）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2a﹣b﹣1）﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b的值．

考查题型十一 乘法公式的合理运用

典例11．（2019·乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算：

（1）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）

（2）已知6x﹣5y＝10，求[（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷4y的值．

考查题型十二 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用

典例12．（2018·浙江中考模拟）计算：（﹣2018）2+2017×（﹣2019）．

考查题型十三 乘法公式的变形在解题中的应用

典例13．（2019·甘肃中考模拟）已知x+=6，则x2+=（　　）

A．38 B．36 C．34 D．32

变式13-1．（2018·四川中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（　　）

A．1 B．﹣ C．±1 D．±

变式13-2．（2017·江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（    ）

A．-1    B．1    C．-4    D．4

变式13-3．（2019·浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（ ）

A．10 B．6 C．5 D．3

变式13-4．（2015·湖南中考真题）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

考查题型十四 整式的化简求值

典例14．（2019·辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中x＝5，y＝．

变式14-1．（2017·江苏中考模拟）先化简，再求值：2＋(＋)( －2)－(－，其中＝－3， ＝ .

考查题型十五 乘法公式和几何图形相结合的应用方法

 典例15．（2019·浙江中考模拟）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；

（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．

变式15-1．（2018·浙江中考真题）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

考查题型十六 利用公式法解决代数式求值问题的方法

典例16．（2018·河南中考模拟）已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

变式16-1．（2017·陕西中考模拟）已知实数x满足，那么的值是（　　）

A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣2

变式16-2．（2019·江苏中考模拟）若x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m的值为(    )

A．-5 B．5 C．-2 D．2