2021年中考数学：专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积（专题测试 原卷及解析卷）

专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2020·吉林中考真题）如图，四边形内接于．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数．

【详解】

因为，四边形内接于，

所以，=180°-

故选：C

2．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为，则图中阴影部分的面积为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

连接和，如下图所示，
 

是以为直径的半圆上的三等分点，弧的长为
圆的半周长

的面积等于的面积，
∴S阴影=S扇形OCD．
故选A．

3．（2020·云南中考真题）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．

【详解】

∵正方形的边长为4

∴

∵是正方形的对角线

∴

∴

∴圆锥底面周长为，解得

∴该圆锥的底面圆的半径是，

故选：D．

4．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

连接OC，易证，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案．

【详解】

连接OC

点为的中点

在和中

又

四边形CDOE为正方形

由扇形面积公式得

故选B．

5．（2020·四川达州市·中考真题）如图，在半径为5的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

如图画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A，根据题意可得O＇B⊥OB、O＇A⊥OA，且OB=OA=O＇B=O＇A,得到四边形O＇BOA是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：如图：画出折叠后所在的⊙O＇，连O＇B，O＇A

∵恰好与、相切

∴O＇B⊥OB、O＇A⊥OA

∵OB=OA=O＇B=O＇A,

∴四边形O＇BOA是正方形

∴∠O=90°

∴劣弧的长为．

故答案为B．

6．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π

【答案】B

【分析】

根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．

【详解】

解：由题意可得，

阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，

故选：B．

7．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．

【详解】

解：是的直径，弦，

，．

又

在和中，

，

故选：B

8．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（     ）

A．2π+2 B．3π C． D．+2

【答案】C

【详解】

利用弧长公式计算即可．

【解答】解：如图，

点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，

故选：C．

9．（2020·四川攀枝花市·中考真题）如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．

【详解】

解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，
∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB

= S扇形ABA′

=

=3π

故选D．

10．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π，

∴侧面展开图的弧长为8π，

则圆锥母线长＝＝12（cm），

故选：B

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______．

【答案】10

【分析】

连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．

【详解】

如图，连接AO,BO，

∴∠AOB=2∠ADB=36°

∴这个正多边形的边数为=10

故答案为：10．

12．（2020·湖南株洲市·中考真题）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则________度．

【答案】80

【分析】

根据正多边形性质求出中心角，即可求出．

【详解】

解：根据正多边形性质得，中心角为360°÷9=40°，

∴．

故答案为：80

13．（2020·广东中考真题）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．

【答案】

【分析】

连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．

【详解】

连接OA，OB，

则∠BAO=∠BAC==60°，

又∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=1，

∵∠BAC=120°，

∴的长为：，

设圆锥底面圆的半径为r

故答案为．

14．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．

【答案】6

【分析】

根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．

【详解】

解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，

设正六边形的边长为r，

∴，

解得r＝6．（负根舍去）

则正六边形的边长为6．

故答案为：

15．（2020·山东德州市·中考真题）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是         °．

【答案】120．

【解析】

试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为120．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；

（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．

【详解】

（1）连接，

是的直径，

，即，

，

连接，

∵点C为劣弧的中点，

，

∵，

∵OC是的半径，

∴CE是的切线；

（2）连接

，，

∵点C为劣弧的中点，

，

，

，

，

∴S扇形FOC=，

即阴影部分的面积为：．

17．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．

（1）求证：；

（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．

（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．

【详解】

（1）证明：由旋转性质得：

是等边三角形

所以

∴；

（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，

所以A，C两点经过的路径长之和为．

18．（2020·四川内江市·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3）

【分析】

（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；

（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用代入数值即可求解．

【详解】

（1）证明：连接OC，如图，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切．

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，

在Rt△OBD中，BD=BC=

∵OD2+BD2=OB2，
∴，解得R=4，
∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，

∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，

∴EF=OE-OF=8-4=4，

即EF=4；

（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，

∴∠BOC=120º，又BC=，OE=8，

∴

=

,   

19．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点．

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线与⊙相切于点可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线是⊙的切线；

（2）先证明BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得，由此可求得，最后便可得．

【详解】

（1）证明：连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵直线与⊙相切于点，

∴∠DAO＝90°，

∴∠DAC+∠OAC＝90°，

∴∠DCA+∠OCA＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴OC⊥DC，

又∵点C在⊙上，

∴直线是⊙的切线；

（2）解：∵∠CAB＝30°，

∴∠COB＝2∠CAB＝60°，

又∵OB＝OC，

∴BOC为等边三角形，

∴OB＝OC＝BC＝2，

∴，

∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，

∴∠E＝90°－∠COB＝30°，

∴OE＝2OC＝4，

∴在RtCOE中，，

∴

，

∴

∴阴影部分的面积为．

20．（2019·江苏镇江市·中考真题）在三角形纸片（如图1）中，，．小霞用张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1）_________°；

（2）求正五边形的边的长．参考值：，，．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；

（2）作CQ⊥AB于Q，根据正弦的定义求出QC，根据直角三角形的性质求出BC，结合图形计算即可．

【详解】

（1）∵五边形是正五边形，

，

，

故答案为；

（2）作于，

在中，，

，

在中，，

，

．