专题09 数列（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题09 数列

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【重难点题型突破】：

一、等差数列与等比数列的证明

例1．（广东省惠州中学2021届高三期末）设为数列的前项和，已知，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式，并判断，，是否成等差数列？

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

证明：∵，，∴，

∴，∴，，

∴是首项为公比为的等比数列.

（2）解：由（1）知，，∴，

∴，

∴，∴，

即，，成等差数列.

例2．（福建省福州市福清西山学校2021届高三模拟）记数列的前项和为，若，且．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求的表达式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）因为，

故，

则，

则，

故，

故是以4为首项，2为公比的等比数列；

（2）由（1）可知，，

故，

故

．

二、求数列的通项公式

例3．（湖南省衡阳市第八中学2021届高三期中）已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1），，

是常数列，

，故，

设的公比是，由已知得，

，

，故；

（2）由（1）知：，

，

，

，得证.

例4．（广东省揭阳市2021届高三期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若等差数列{bn}的前n项和为Tn，且，，求数列的前n项和Qn．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）当时，得，

由，得，

两式相减得，又，∴，

又，∴，显然，

即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；

（2）设数列的公差为，则有，

由得，解得，∴，

又，

∴==．

三、求数列的前n项和

例5．（福建省莆田第二十五中学2021届高三期中）设数列的前项和为，在①，，成等差数列.②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.

在公比为2的等比数列中，____________

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】条件选择见解析（1）；（2）.

【解析】

（1）选①：因为，，成等差数列，所以，

所以，解得，所以.

选②：因为，，成等差数列，所以，即，

所以，解得，所以；

（2）因为，所以，

所以，，

所以.

例6．（福建省厦门双十中学2021届高三期中）在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．

问题：已知数列中，，__________．

（1）求；

（2）若数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）选①：

由可得，

即，

又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，

所以，所以；

选②：

由，可得，

即，

又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，所以；

选③：

由（）可得：
当时，

，
当时，，符合，
所以当时，；

（2）证明：由（1）得，

所以，

因为，所以，

又因为随着的增大而增大，所以，

综上．

例7．（福建省福州第一中学2021届高三期中）已知等比数列的公比，满足：，且是的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值．

【答案】（1）；（2）9.

【解析】（1）∵是的等差中项，∴，代入，可得，∴，∴，解之得或，

∵，∴，∴数列的通项公式为；

（2）∵，

∴，①

，②

②①得

∵，∴，

又因为，，所以，所以，

所以使成立的正整数的最小值为.

例8．（福建省莆田第一中学2021届高三期中）已知是数列的前项和，，．

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

（1）证明：由，当时，，

两式相减得，

当时，即，∴，∴，

∴时都有，

∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴．

（2）解：，

∴，

，

∴，

∴

∴．