初中北师大版第二章 二次函数综合与测试单元测试随堂练习题

这是一份初中北师大版第二章 二次函数综合与测试单元测试随堂练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y=3x－1 B．y=3x2－1 C．y=(x＋1)2－x2 D．y=eq \r(x2－1)
2．对于二次函数y=3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．对称轴是直线x=－2
C．顶点坐标是(2，1) D．与x轴有两个交点
3．抛物线y=x2－1可由下列哪一个函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到？( )
A．y=(x－1)2＋1 B．y=(x＋1)2＋1 C．y=(x－1)2－3 D．y=(x＋1)2＋3
4．二次函数y=x2－2x＋1的图象与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，y2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，y3))为二次函数y=x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
6．函数y=ax＋b和y=ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可能是( )
7．已知函数y=x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是( )
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞3
8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h=30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是( )

二、填空题(每题3分，共24分)
11．抛物线y=－x2＋15有最________点，其坐标是________．
12．函数y=x2＋2x＋1，当y=0时，x=______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)
13．如图，二次函数y=x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．
14．已知抛物线y=ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c=0的根为________．
15．如图，已知二次函数y1=ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2=kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．
16．抛物线y=x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为__________________．
17．如图是一个横断面为抛物线型的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________．
18．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b=0；②a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是________(填写序号)．
三、解答题(19题10分，20题12分，21，22题每题14分，23题16分，共66分)
19．如图，已知二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．
20．如图，矩形ABCD的两边长AB=18 cm，AD=4 cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x s，△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的最大面积．
(第20题)
21．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3 m，那么水面CD的宽是10 m.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6 m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6 m的长方体货物(货物与货船同宽)，此船能否顺利通过这座拱桥？
22．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围内，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)的关系是y1=170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数表达式．
(2)求月产量x的范围．
(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？
(第22题)
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=－2x－1与y轴交于点A，与直线y=－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．
答案
一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.D
6．C 7.B 8.A 9.C 10.A
二、11.高；(0，15)
12．－1；增大 13.15
14．x1=－1，x2=3
15．x＜－2或x＞8
16．y=－x2＋2x－3
17．2eq \r(6) m 18.①④
三、19.解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋4＋c＝－1，,9a－12＋c＝－9.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,c＝－6.))
∴该二次函数的表达式为y=x2－4x－6.
∵y=x2－4x－6=(x－2)2－10，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，
顶点坐标为(2，－10)．
(2)∵点P(m，m)在该函数的图象上，
∴m2－4m－6=m.
∴m1=6，m2=－1.
∴m的值为6或－1.
20．解：(1)∵S△PBQ=eq \f(1,2)PB·BQ，
PB=AB－AP=(18－2x)cm，BQ=x cm，
∴y=eq \f(1,2)(18－2x)x.
即y=－x2＋9x(0＜x≤4)．
(2)由(1)知y=－x2＋9x，
∴y=－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(81,4).
∵当0＜x≤eq \f(9,2)时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，
∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20 cm2.
21．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y=ax2.
∵抛物线关于y轴对称，AB=20 m，CD=10 m，
∴点B的横坐标为10，点D的横坐标为5.设点B(10，n)，
则点D(5，n＋3)．
将B，D两点的坐标分别代入表达式，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝100a，,n＋3＝25a.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝－4，,a＝－\f(1,25).))
∴y=－eq \f(1,25)x2.
(2)当x=3时，y=－eq \f(1,25)×9=－eq \f(9,25).
∵点B的纵坐标为－4，又|－4|－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(9,25)))=3.64>3.6，
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
22．解：(1)y2与x之间的函数表达式为y2=500＋30x.
(2)依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(500＋30x≤50x，,170－2x≥90.))
解得25≤x≤40.
(3)设这种设备的月利润为w元，则w=xy1－y2=x(170－2x)－(500＋30x)=－2x2＋140x－500，
∴w=－2(x－35)2＋1 950.
∵25<35<40,
∴当x=35时，w最大=1 950.
即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1 950万元．
23．解：(1)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x，,y＝－2x－1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1.))
∴B点坐标为(－1，1)．
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为(1，－1)．
∵直线y=－2x－1与y轴交于点A，
∴A点坐标为(0，－1)．
设抛物线对应的函数表达式为y=ax2＋bx＋c，
把A，B，C三点的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＝c，,1＝a－b＋c，,－1＝a＋b＋c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,c＝－1.))
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2－x－1.
(2)①连接PQ.
由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，
∵直线BC对应的函数表达式为y=－x，
∴直线PQ对应的函数表达式为y=x.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x，,y＝x2－x－1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1－\r(2)，,y＝1－\r(2)，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋\r(2)，,y＝1＋\r(2).))
∴P点坐标为(1－eq \r(2)，1－eq \r(2))或(1＋eq \r(2)，1＋eq \r(2))．
②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，
则S四边形PBQC=2S△PBC=2×eq \f(1,2)BC·PD=BC·PD.
∵线段BC的长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．
又∠PED=∠AOC(固定不变)，
∴当PE最大时，PD也最大．
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为(t，t2－t－1)，
E点坐标为(t，－t)．
∴PE=－t－(t2－t－1)=－t2＋1.
∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．
(第23题)