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2021届高考物理考前复习大串讲-专题06 机械能基础知识+查漏补缺 Word版含解析
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这是一份2021届高考物理考前复习大串讲-专题06 机械能基础知识+查漏补缺 Word版含解析，共26页。
【知识网络】
【知识清单】
一、功的概念
1. 定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力做了功.
2. 做功的两个必要条件：a、力； b、物体在力的方向上发生位移.
3. 功的物理意义：功是能量转化的量度。
4. 计算公式：W＝Flcos α
公式的应用及适用条件
力F
大小、方向都恒定
力F可以是物体所受合力、也可以是某一个分力
力F与所做功W具有对应性，与物体是否受其它外力、运动状态无关
位移l
相对地面的位移
是力F作用的时间内发生的位移
不能看作质点的物体，可看作是质点系。l是指受到力F作用的质点发生的位移
夹角ɑ
α为F、l的正向夹角，故
备注
功是标量，虽有正负，但不表示大小，只表示是动力做功还是阻力做功，即其正负是表示能量转化的方向性的。
二、对正功、负功的理解
1. 功是标量，只有量值，没有方向．功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果
2. 一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功，这两种说法是等效的。例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为10J。
3. 比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如，－8J的功要比5J的功多。
4. 正功、负功的物理意义
5. 力做正功还是负功的判断方法
（1）看力F与位移l的夹角α
α＜90°，力做正功；α＞90°，力做负功；α＝90°，力不做功。
（2）看力F与速度v的夹角α
α＜90°，力做正功；α＞90°，力做负功；α＝90°，力不做功。
看速率增大还是减小，若在力作用下速率增大，此力做正功，反之做负功。
三、总功及其求解方法
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功时有两种基本思路：
1．先确定物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcos α求解合外力的功．该方法适用于物体的合外力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化．
2． 由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
四、计算做功的一般思路
五、功率的概念
1.定义：功W跟完成这些功所用的时间t的比值叫做功率.
2.物理意义：描述力对物体做功快慢的物理量.
3.单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，符号W.常用单位：kW。1kW=103W
4.功率的计算
（1）功率的计算公式
（2）平均功率与瞬时功率
式中当v是平均速度时，功率P是平均功率；
当v是瞬时速度时，功率P是瞬时功率；
其区别在于：平均功率粗略描述做功的快慢；瞬时功率精确描述做功快慢.
5.机械的额定功率与实际功率
任何机械都有一个标牌，标牌上所注功率为这部机械的额定功率.它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”.机械运行过程中的功率是实际功率.机械的实际功率可以小于其额定功率(称机械没吃饱)，可以等于其额定功率(称满负荷运行)，还可以在短时间内略大于其额定功率(称超负荷运行).机械不能长时间处于超负荷运行，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命.
六、动能定理
1.内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化.
2．表达式：W＝mv－mv.
3．物理意义：动能定理给出了力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的多少由做功的多来量度
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．
七、机械能守恒定律
1. 内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.这叫做机械能守恒定律.
2. 表达式
①物体(或系统)初态的总机械能E1等于末态的总机械能E2,即E1=E2或Ek1+EP1=EK2+EP2
②物体(或系统)减少的势能ΔEp减等于增加的动能ΔEk增,即ΔEp减=ΔEk增.
③若系统内只有A、B两个物体,则A减少的机械能等于B增加的机械能,即ΔEA减=ΔEB增.
3. 条件：
除重力、弹簧弹力外无其他力做功，包括三种情况：
①除重力、弹簧弹力外无其他力作用；
②除重力、弹簧弹力外受其他力，但其他力不做功
③除重力、弹簧弹力外受其他力，但其他力所做总功为零
八、能量守恒定律
1. 内容: 能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变.
2. 导致能量守恒定律最后确立的两类重要事实是:确认了永动机的不可能性和发现了各种自然现象之间的相互关系与转化.
3. 能量守恒定律的建立,是人类认识自然的一次重大飞跃,是哲学和自然科学长期发展和进步的结果.它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一,而且是大自然普遍和谐性的表现形式.
九、应用功能关系或能量守恒解题的步骤
1.分清有多少形式的能如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能）内能等]在变化．
2.明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
3.列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增．
十、涉及弹簧的弹性势能的定量计算
1.由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系，有时需结合动量守恒。
2.由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：
①位置的对称性
当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。
②位置变化的相同性
当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。
③弹性势能公式
当弹性势能公式Ep＝kx2做为题设条件时可直接使用。
【查漏补缺】
机车启动两种方式的定量计算与定性分析
1．两种启动方式特点
启动方式
恒定功率启动
恒定加速度启动
过程分析
阶段一：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
阶段二：F＝F阻⇒a＝0⇒P＝F·vm＝F阻·vm
阶段一：a＝不变⇒F不变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·v′m
阶段二：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
阶段三：F＝F阻⇒a＝0⇒v达最大值vm＝
运动规律
做加速度逐渐减小的变加速直线运动以vm做匀速直线运动
以加速度a做匀加速直线运动做加速度逐渐减小的变加速直线运动以vm做匀速直线运动
v－t图象
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机动车以恒定功率启动过程的位移大小。
3. 题型分类
(1) 以恒定功率启动
P一定，v变大，F变小a变小，当a＝0时，v不变，机车匀速前进，这时F＝Ff，而速度vmax＝ 为机车运行的最大速度，以后保持vmax匀速运动。其过程如下：
所以机车达到最大速度时a＝0，F＝Ff，P＝Fvmax＝Ffvmax，这一启动过程的v－t关系如图所示，
其中vmax＝
P＝Fv中F为牵引力，速度达到最大时vmax＝.该式提供了一种求vmax及Ff的方法。
（2）以恒定的加速度启动
a一定，F一定，v增大，P增大，当P增大到P额时，变为以恒定功率启动，F减小，a减小，v还要增大，直到a＝0，v最大，F＝Ff，vmax＝，此后匀速。其过程可表示如下：
这一运动过程的v－t关系如图所示，其中v0＝，F＝Ff＋ma，vmax＝。
(3) 机车以恒定加速度启动时的分段处理
①上图中，0～t0段P均匀增加，(P＝Fv，a不变，v均匀增加)，可按匀加速直线运动处理。
②t0时刻P增至P额，v0＝。t0～t1段P＝P额，功率不变，Ff不变，但牵引力和a变小，此阶段牵引力是变力，牵引力的功为W＝P(t1－t0)。
③t1时刻后，P额＝Ff·vmax成立。
（2）以恒定的加速度启动
a一定，F一定，v增大，P增大，当P增大到P额时，变为以恒定功率启动，F减小，a减小，v还要增大，直到a＝0，v最大，F＝Ff，vmax＝，此后匀速。其过程可表示如下：
这一运动过程的v－t关系如图所示，其中v0＝，F＝Ff＋ma，vmax＝。
(3) 机车以恒定加速度启动时的分段处理
①上图中，0～t0段P均匀增加，(P＝Fv，a不变，v均匀增加)，可按匀加速直线运动处理。
②t0时刻P增至P额，v0＝。t0～t1段P＝P额，功率不变，Ff不变，但牵引力和a变小，此阶段牵引力是变力，牵引力的功为W＝P(t1－t0)。
③t1时刻后，P额＝Ff·vmax成立。
【典例1】.汽车发动机额定功率为60 kW，汽车质量为5.0×103 kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：
（1）汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，以0.5 m/s2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？
【答案】（1）12 m/s （2）16 s
（2）要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随v增大而增大，当P达到额定功率P额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：
所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P额的时刻，设匀加速能达到最大速度为v，则此时
【典例2】.质量为m ＝4.0×103 kg的汽车，发动机的额定功率为P＝40 kW，汽车从静止开始以a＝0.5 m/s2的加速度行驶，所受阻力F阻＝2.0×103 N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？
【思路点拨】
汽车从静止开始的加速运动可以分为两个阶段。
第一阶段中，汽车从静止开始，以恒定加速度a作匀加速直线运动。在这一个阶段中，汽车发动机的牵引力为恒力，即F＝ma＋F阻，这里F阻为运动中受到的大小恒定的阻力。由于发动机功率P＝Fv＝(ma＋F阻)v，汽车的速度从零逐渐增大，所以发动机的功率是从零逐渐增大到额定功率。
第二阶段中，由于发动机的功率已经达到最大值，随着运动速度不断增大，牵引力逐渐变小，汽车的加速度也随之变小。这一阶段中汽车加速度逐渐减小而速度仍不断增大。当发动机的牵引力等于阻力时，汽车有最大速度。
【答案】20 s 20 m/s
动能定理的理解与应用
一、动能定理的理解与基本应用
1．动能定理
(1)内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(2)表达式：W＝mv－mv。
(3)动能定理的特点
2．从两个方面理解动能定理
(1)动能定理公式中体现的三个关系：
(2)动能定理叙述中所说的“外力”，即可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．
3．应用动能定理的注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负。合力对物体做正功，物体的动能增加；合力对物体做负功，物体的动能减少；合力对物体不做功，物体的动能不变
(3)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．
4.用好动能定理的“5个”突破
突破①——研究对象的选取
动能定理适用于单个物体，当题目中出现多个物体时可分别将单个物体取为研究对象，应用动能定理。
突破②——研究过程的选取
应用动能定理时，选取不同的研究过程列出的方程是不相同的。因为动能定理是个过程式，选取合适的过程往往可以大大简化运算。
突破③——受力分析
运用动能定理时，必须分析清楚物体在过程中的全部受力情况，找出哪些力不做功，哪些力做功，做多少功，从而确定出外力的总功，这是解题的关键。
突破④——位移的计算
应用动能定理时，要注意有的力做功与路程无关，只与位移有关，有的力做功却与路程有关。
突破⑤——初、末状态的确定
动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度，所以确定初、末状态动能时，必须相对于同一参考系而言。
二、应用动能定理求变力做功
1. 变力做功
变力对物体所做的功一般用动能定理计算，应用时要清楚整个过程中动能的变化量及其他力做的功。
注意：
（1）变力是指力的大小或方向发生变化的力，曲线运动中的力不一定是变力，直线运动中的力也未必是恒力。
（2）汽车以恒定功率启动的过程中牵引力是变力，牵引力所做的功可以根据公式W ＝ Pt 求解。
2. 应用动能定理求变力做功的方法
① 分析物体的受力情况，明确做功过程中的各个力是恒力还是变力，并求出各恒力所做的功。
② 分析物体的运动过程，确定物体在初、末状态的动能。
③ 利用动能定理列方程求解。
三、利用动能定理解决多过程问题
物体在运动过程中若包含几个不同的过程，应优先考虑对全过程运用动能定理，这样可以避开每个运动过程的具体细节，因此比分段运用动能定理求解简单．由于全过程运用动能定理解题时不必考虑中间过程的细节，只需考虑全过程中合力做功的情况，以及初、末状态的动能，所以对于多过程、往复运动问题，对全过程运用动能定理具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点。
在以下几种情况下优先考虑应用动能定理
(1)不涉及加速度、时间的问题；
(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题；
(3)变力做功的问题；
(4)含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题
【典例3】如图所示，质量m＝6.0 kg的滑块(可视为质点)，在F＝60 N的水平拉力作用下从A点由静止开始运动，一段时间后撤去拉力F，当滑块由平台边缘B点飞出后，恰能从水平地面上的C点沿切线方向落入竖直圆弧轨道CDE，并从轨道边缘E点竖直向上飞出，经过0.4 s后落回E点。已知A、B间的距离L＝2.3 m，滑块与平台间的动摩擦因数μ＝0.5，平台离地面高度h＝0.8 m，B、C两点间水平距离x＝1.2 m，圆弧轨道半径R＝1.0 m。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)滑块运动到B点时的速度大小；
(2)滑块在平台上运动时受水平拉力F作用的时间；
(3)滑块沿圆弧轨道由C到E过程克服摩擦做的功。
解题指导： 通过“三遍”读题，完成“拆分”过程。
(1)A→B过程中，有F作用时匀加速直线运动。(第1个小题)
(2)A→B过程中，无F作用时匀减速直线运动。(第2个小题)
(3)B→C过程中，平抛运动。(第3个小题)
(4)C→E过程中，有摩擦力存在的圆周运动。(第4个小题)
(5)从E点抛出到落回E点过程中，竖直上抛运动。(第5个小题)
【答案】 (1)3 m/s (2)0.8 s (3)27 J
(2)滑块由A至B过程中，F作用时间内做匀加速直线运动(第1个小题)
F－μmg＝ma1
v1＝a1t1
x1＝a1t
撤去F后滑块做匀减速直线运动(第2个小题)
a2＝μg
vB＝v1－a2t2
x2＝vBt2＋a2t
L＝x1＋x2
联立可得 t1＝0.8 s
(3)由B至C过程根据动能定理(第3个小题)
mgh＝mv－mv
得：vC＝5 m/s
所以cos α＝＝0.6
滑块从E点上抛至落回的时间用t0表示，(第5个小题)
则vE＝g＝2 m/s
滑块沿圆弧轨道由C到E过程，(第4个小题)
设克服摩擦力做功为Wf，由动能定理
－mgR·cos α－Wf＝mv－mv
可得：Wf＝27 J
【典例4】(2016全国卷Ⅰ，25)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g。(取sin 37°＝，cos 37°＝)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【答案】 (1)2 (2)mgR (3)m
【解析】 解析 (1)由题意可知：lBC＝7R－2R＝5R①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得
mglBCsin θ－μmglBCcos θ＝mv②
式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得
vB＝2③
(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离为x1和竖直距离为y1，θ＝37°。由几何关系(如图所示)得：
x1＝R－Rsin θ＝3R⑨
y1＝R＋R＋Rcos θ＝R⑩
设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。
由平抛运动公式得：
y1＝gt2⑪
x1＝vDt⑫
联立⑨⑩⑪⑫得
vD＝⑬
设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有
m1v＝m1v＋m1g(R＋Rcos θ)⑭
P由E点运动到C点的过程中，由动能定理得
Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮得
m1＝m
机械能守恒定律的理解与应用
一 机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
二 单个物体的机械能守恒
1.机械能守恒定律的表达式
2. 机械能守恒定律解题的基本思路
①选取研究对象——物体系或物体．
②根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．
③恰当地选取参考平面，确定研究对象初末态时的机械能．
④灵活选取机械能守恒的表达式列机械能守恒定律方程．
⑤解方程，统一单位，进行运算，求出结果，进行检验．
三 系统机械能守恒
由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。
系统间的相互作用力分为三类：
（1）刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等
（2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。
（3）其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。
在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。
【典例5】.(2015·新课标全国卷Ⅱ·21)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】 BD
【典例6】.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看成质点)，且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g)，下列说法正确的是( )
A．A球增加的机械能等于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为
D．细杆对A球做的功为mgR
【答案】 AD
【典例7】．(多选) 如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
A．球1的机械能守恒
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最小
D．六个球落地点各不相同
【答案】BC
功能关系的理解与应用（几种常见题型）
一 与弹簧相关的功能关系问题
【典例8】 (2016·全国甲卷·25)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接.AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示.物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围.
【答案】 (1) 2l (2)m≤M
Ep＝5mgl ①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝mv＋μmg(5l－l) ②
联立①②式，并代入题给数据得
vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零.由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
MvB′2≤Mgl ⑪
Ep＝MvB′2＋μMg·4l ⑫
联立①⑩⑪⑫式得
m≤M
解决功能关系问题应注意的三个方面
1.分析清楚是什么力做功，并且清楚该力做正功，还是做负功；根据功能之间的对应关系，判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况.
2.也可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤其是可以方便计算变力做功的多少.
3.功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度和原因，在不同问题中的具体表现不同.
二 与摩擦生热相关的功能关系问题
1．传送带模型：是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况。一般设问的角度有两个：
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W和Q的理解：
①传送带做的功：W＝Ffx传；
②产生的内能Q＝Ffx相对。
【典例9】(2015·天津理综·10)某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图，皮带在电动机的带动下保持v＝1 m/s的恒定速度向右运动，现将一质量为m＝2 kg的邮件轻放在皮带上，邮件和皮带间的动摩擦因数μ＝0.5。设皮带足够长，取g＝10 m/s2，在邮件与皮带发生相对滑动的过程中，求：
(1)邮件滑动的时间t；
(2)邮件对地的位移大小x；
(3)邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。
【答案】 (1)0.2 s (2)0.1 m (3)－2 J
(2)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，对邮件应用动能定理，有
Fx＝mv2－0④
由①④式并代入数据得
x＝0.1 m⑤
(3)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，设皮带相对地面的位移为x′，则x′＝vt⑥
摩擦力对皮带做的功
W＝－Fx′⑦
由①③⑥⑦式并代入数据得W＝－2 J。
【高考预测补缺训练】
1.质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )
A．GMm B．GMm
C. D.
【答案】 C
故卫星由半径为R1的轨道变为半径为R2的轨道的过程中损失的机械能为：
ΔE＝E1－E2＝Ep1＋Ek1－(Ep2＋Ek2)
代入数据可得
ΔE＝
由能量转化和守恒定律得，卫星损失的机械能等于通过摩擦产生的热量，产生的热量为，C项正确。
2. 如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m。当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m，挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm。
【答案】 (1)0.52 (2)24.5 J
【解析】 (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°①
物体克服摩擦力产生的热量为
Q＝Ffx②
其中x为物体的路程，即x＝5.4 m③
Ff＝μmgcos 37°④
由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤
由①②③④⑤式解得μ＝0.52。
3．如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放在倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉直水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm。(g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)轻质细绳受到的拉力最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)轻质弹簧所获得的最大弹性势能Ep。
【答案】 (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
(2)由D到A，小球做平抛运动
v＝2gh③
tan 53°＝④
联立③④解得h＝16 cm。
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据得：Ep＝2.9 J。．
4．如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)若圆环恰能下降h＝3 m，A和B的质量应满足什么关系？
(2)若圆环下降h＝3 m时的速度vB＝5 m/s，则A和B的质量有何关系？
(3)不管A和B的质量为多大，圆环下降h＝3 m时的速度不可能超过多大？
【答案】 (1)M＝3m (2)＝ (3)2 m/s
(2)若圆环下降h＝3 m时的速度vB＝5 m/s，由机械能守恒定律有
mgh－MghA＝mv＋Mv
又h2＋l2＝(l＋hA)2
如图所示，A、B的速度关系为
vA＝vBcos θ＝vB·
解得A和B的质量关系为＝
(3)B的质量比A的大得越多，圆环下降h＝3 m时的速度越大，当m≫M时可认为B下落过程机械能守恒，有mgh＝mv
解得圆环的最大速度vBm＝2 m/s
即圆环下降h＝3 m时的速度不可能超过2 m/s。
5．如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m＝2 kg的小球A。半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2 kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现给小球A一个水平向右的恒力F＝50 N。(取g＝10 m/s2)则( )
A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F做功为20 J
B．小球B运动到C处时的速度大小为0
C．小球B被拉到与小球A速度大小相等时，sin∠OPB＝
D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J
【答案】AC
设最低点势能为0，小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加，
ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv2＋mgR＝20 J，故D错误。
【知识网络】
【知识清单】
一、功的概念
1. 定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力做了功.
2. 做功的两个必要条件：a、力； b、物体在力的方向上发生位移.
3. 功的物理意义：功是能量转化的量度。
4. 计算公式：W＝Flcos α
公式的应用及适用条件
力F
大小、方向都恒定
力F可以是物体所受合力、也可以是某一个分力
力F与所做功W具有对应性，与物体是否受其它外力、运动状态无关
位移l
相对地面的位移
是力F作用的时间内发生的位移
不能看作质点的物体，可看作是质点系。l是指受到力F作用的质点发生的位移
夹角ɑ
α为F、l的正向夹角，故
备注
功是标量，虽有正负，但不表示大小，只表示是动力做功还是阻力做功，即其正负是表示能量转化的方向性的。
二、对正功、负功的理解
1. 功是标量，只有量值，没有方向．功的正、负并不表示功的方向，而且也不是数量上的正与负。我们既不能说“正功与负功的方向相反”，也不能说“正功大于负功”，它们仅表示相反的做功效果
2. 一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功，这两种说法是等效的。例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10J，也可以说成物体克服摩擦力做的功为10J。
3. 比较做功多少时，只比较功的绝对值，不看功的正负号。例如，－8J的功要比5J的功多。
4. 正功、负功的物理意义
5. 力做正功还是负功的判断方法
（1）看力F与位移l的夹角α
α＜90°，力做正功；α＞90°，力做负功；α＝90°，力不做功。
（2）看力F与速度v的夹角α
α＜90°，力做正功；α＞90°，力做负功；α＝90°，力不做功。
看速率增大还是减小，若在力作用下速率增大，此力做正功，反之做负功。
三、总功及其求解方法
由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功时有两种基本思路：
1．先确定物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcos α求解合外力的功．该方法适用于物体的合外力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化．
2． 由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
四、计算做功的一般思路
五、功率的概念
1.定义：功W跟完成这些功所用的时间t的比值叫做功率.
2.物理意义：描述力对物体做功快慢的物理量.
3.单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，符号W.常用单位：kW。1kW=103W
4.功率的计算
（1）功率的计算公式
（2）平均功率与瞬时功率
式中当v是平均速度时，功率P是平均功率；
当v是瞬时速度时，功率P是瞬时功率；
其区别在于：平均功率粗略描述做功的快慢；瞬时功率精确描述做功快慢.
5.机械的额定功率与实际功率
任何机械都有一个标牌，标牌上所注功率为这部机械的额定功率.它是提供人们对机械进行选择、配置的一个重要参数，它反映了机械的做功能力或机械所能承担的“任务”.机械运行过程中的功率是实际功率.机械的实际功率可以小于其额定功率(称机械没吃饱)，可以等于其额定功率(称满负荷运行)，还可以在短时间内略大于其额定功率(称超负荷运行).机械不能长时间处于超负荷运行，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命.
六、动能定理
1.内容：合外力对物体所做的功等于物体动能的变化.
2．表达式：W＝mv－mv.
3．物理意义：动能定理给出了力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的多少由做功的多来量度
4．适用条件
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用．
七、机械能守恒定律
1. 内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.这叫做机械能守恒定律.
2. 表达式
①物体(或系统)初态的总机械能E1等于末态的总机械能E2,即E1=E2或Ek1+EP1=EK2+EP2
②物体(或系统)减少的势能ΔEp减等于增加的动能ΔEk增,即ΔEp减=ΔEk增.
③若系统内只有A、B两个物体,则A减少的机械能等于B增加的机械能,即ΔEA减=ΔEB增.
3. 条件：
除重力、弹簧弹力外无其他力做功，包括三种情况：
①除重力、弹簧弹力外无其他力作用；
②除重力、弹簧弹力外受其他力，但其他力不做功
③除重力、弹簧弹力外受其他力，但其他力所做总功为零
八、能量守恒定律
1. 内容: 能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变.
2. 导致能量守恒定律最后确立的两类重要事实是:确认了永动机的不可能性和发现了各种自然现象之间的相互关系与转化.
3. 能量守恒定律的建立,是人类认识自然的一次重大飞跃,是哲学和自然科学长期发展和进步的结果.它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一,而且是大自然普遍和谐性的表现形式.
九、应用功能关系或能量守恒解题的步骤
1.分清有多少形式的能如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能）内能等]在变化．
2.明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
3.列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增．
十、涉及弹簧的弹性势能的定量计算
1.由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系，有时需结合动量守恒。
2.由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：
①位置的对称性
当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。
②位置变化的相同性
当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。
③弹性势能公式
当弹性势能公式Ep＝kx2做为题设条件时可直接使用。
【查漏补缺】
机车启动两种方式的定量计算与定性分析
1．两种启动方式特点
启动方式
恒定功率启动
恒定加速度启动
过程分析
阶段一：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
阶段二：F＝F阻⇒a＝0⇒P＝F·vm＝F阻·vm
阶段一：a＝不变⇒F不变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·v′m
阶段二：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
阶段三：F＝F阻⇒a＝0⇒v达最大值vm＝
运动规律
做加速度逐渐减小的变加速直线运动以vm做匀速直线运动
以加速度a做匀加速直线运动做加速度逐渐减小的变加速直线运动以vm做匀速直线运动
v－t图象
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝＜vm＝。
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机动车以恒定功率启动过程的位移大小。
3. 题型分类
(1) 以恒定功率启动
P一定，v变大，F变小a变小，当a＝0时，v不变，机车匀速前进，这时F＝Ff，而速度vmax＝ 为机车运行的最大速度，以后保持vmax匀速运动。其过程如下：
所以机车达到最大速度时a＝0，F＝Ff，P＝Fvmax＝Ffvmax，这一启动过程的v－t关系如图所示，
其中vmax＝
P＝Fv中F为牵引力，速度达到最大时vmax＝.该式提供了一种求vmax及Ff的方法。
（2）以恒定的加速度启动
a一定，F一定，v增大，P增大，当P增大到P额时，变为以恒定功率启动，F减小，a减小，v还要增大，直到a＝0，v最大，F＝Ff，vmax＝，此后匀速。其过程可表示如下：
这一运动过程的v－t关系如图所示，其中v0＝，F＝Ff＋ma，vmax＝。
(3) 机车以恒定加速度启动时的分段处理
①上图中，0～t0段P均匀增加，(P＝Fv，a不变，v均匀增加)，可按匀加速直线运动处理。
②t0时刻P增至P额，v0＝。t0～t1段P＝P额，功率不变，Ff不变，但牵引力和a变小，此阶段牵引力是变力，牵引力的功为W＝P(t1－t0)。
③t1时刻后，P额＝Ff·vmax成立。
（2）以恒定的加速度启动
a一定，F一定，v增大，P增大，当P增大到P额时，变为以恒定功率启动，F减小，a减小，v还要增大，直到a＝0，v最大，F＝Ff，vmax＝，此后匀速。其过程可表示如下：
这一运动过程的v－t关系如图所示，其中v0＝，F＝Ff＋ma，vmax＝。
(3) 机车以恒定加速度启动时的分段处理
①上图中，0～t0段P均匀增加，(P＝Fv，a不变，v均匀增加)，可按匀加速直线运动处理。
②t0时刻P增至P额，v0＝。t0～t1段P＝P额，功率不变，Ff不变，但牵引力和a变小，此阶段牵引力是变力，牵引力的功为W＝P(t1－t0)。
③t1时刻后，P额＝Ff·vmax成立。
【典例1】.汽车发动机额定功率为60 kW，汽车质量为5.0×103 kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：
（1）汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？
（2）若汽车从静止开始，以0.5 m/s2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？
【答案】（1）12 m/s （2）16 s
（2）要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随v增大而增大，当P达到额定功率P额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：
所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P额的时刻，设匀加速能达到最大速度为v，则此时
【典例2】.质量为m ＝4.0×103 kg的汽车，发动机的额定功率为P＝40 kW，汽车从静止开始以a＝0.5 m/s2的加速度行驶，所受阻力F阻＝2.0×103 N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？
【思路点拨】
汽车从静止开始的加速运动可以分为两个阶段。
第一阶段中，汽车从静止开始，以恒定加速度a作匀加速直线运动。在这一个阶段中，汽车发动机的牵引力为恒力，即F＝ma＋F阻，这里F阻为运动中受到的大小恒定的阻力。由于发动机功率P＝Fv＝(ma＋F阻)v，汽车的速度从零逐渐增大，所以发动机的功率是从零逐渐增大到额定功率。
第二阶段中，由于发动机的功率已经达到最大值，随着运动速度不断增大，牵引力逐渐变小，汽车的加速度也随之变小。这一阶段中汽车加速度逐渐减小而速度仍不断增大。当发动机的牵引力等于阻力时，汽车有最大速度。
【答案】20 s 20 m/s
动能定理的理解与应用
一、动能定理的理解与基本应用
1．动能定理
(1)内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
(2)表达式：W＝mv－mv。
(3)动能定理的特点
2．从两个方面理解动能定理
(1)动能定理公式中体现的三个关系：
(2)动能定理叙述中所说的“外力”，即可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力．
3．应用动能定理的注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．
(2)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负。合力对物体做正功，物体的动能增加；合力对物体做负功，物体的动能减少；合力对物体不做功，物体的动能不变
(3)应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．
4.用好动能定理的“5个”突破
突破①——研究对象的选取
动能定理适用于单个物体，当题目中出现多个物体时可分别将单个物体取为研究对象，应用动能定理。
突破②——研究过程的选取
应用动能定理时，选取不同的研究过程列出的方程是不相同的。因为动能定理是个过程式，选取合适的过程往往可以大大简化运算。
突破③——受力分析
运用动能定理时，必须分析清楚物体在过程中的全部受力情况，找出哪些力不做功，哪些力做功，做多少功，从而确定出外力的总功，这是解题的关键。
突破④——位移的计算
应用动能定理时，要注意有的力做功与路程无关，只与位移有关，有的力做功却与路程有关。
突破⑤——初、末状态的确定
动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度，所以确定初、末状态动能时，必须相对于同一参考系而言。
二、应用动能定理求变力做功
1. 变力做功
变力对物体所做的功一般用动能定理计算，应用时要清楚整个过程中动能的变化量及其他力做的功。
注意：
（1）变力是指力的大小或方向发生变化的力，曲线运动中的力不一定是变力，直线运动中的力也未必是恒力。
（2）汽车以恒定功率启动的过程中牵引力是变力，牵引力所做的功可以根据公式W ＝ Pt 求解。
2. 应用动能定理求变力做功的方法
① 分析物体的受力情况，明确做功过程中的各个力是恒力还是变力，并求出各恒力所做的功。
② 分析物体的运动过程，确定物体在初、末状态的动能。
③ 利用动能定理列方程求解。
三、利用动能定理解决多过程问题
物体在运动过程中若包含几个不同的过程，应优先考虑对全过程运用动能定理，这样可以避开每个运动过程的具体细节，因此比分段运用动能定理求解简单．由于全过程运用动能定理解题时不必考虑中间过程的细节，只需考虑全过程中合力做功的情况，以及初、末状态的动能，所以对于多过程、往复运动问题，对全过程运用动能定理具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点。
在以下几种情况下优先考虑应用动能定理
(1)不涉及加速度、时间的问题；
(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题；
(3)变力做功的问题；
(4)含有F、l、m、v、W、Ek等物理量的力学问题
【典例3】如图所示，质量m＝6.0 kg的滑块(可视为质点)，在F＝60 N的水平拉力作用下从A点由静止开始运动，一段时间后撤去拉力F，当滑块由平台边缘B点飞出后，恰能从水平地面上的C点沿切线方向落入竖直圆弧轨道CDE，并从轨道边缘E点竖直向上飞出，经过0.4 s后落回E点。已知A、B间的距离L＝2.3 m，滑块与平台间的动摩擦因数μ＝0.5，平台离地面高度h＝0.8 m，B、C两点间水平距离x＝1.2 m，圆弧轨道半径R＝1.0 m。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)滑块运动到B点时的速度大小；
(2)滑块在平台上运动时受水平拉力F作用的时间；
(3)滑块沿圆弧轨道由C到E过程克服摩擦做的功。
解题指导： 通过“三遍”读题，完成“拆分”过程。
(1)A→B过程中，有F作用时匀加速直线运动。(第1个小题)
(2)A→B过程中，无F作用时匀减速直线运动。(第2个小题)
(3)B→C过程中，平抛运动。(第3个小题)
(4)C→E过程中，有摩擦力存在的圆周运动。(第4个小题)
(5)从E点抛出到落回E点过程中，竖直上抛运动。(第5个小题)
【答案】 (1)3 m/s (2)0.8 s (3)27 J
(2)滑块由A至B过程中，F作用时间内做匀加速直线运动(第1个小题)
F－μmg＝ma1
v1＝a1t1
x1＝a1t
撤去F后滑块做匀减速直线运动(第2个小题)
a2＝μg
vB＝v1－a2t2
x2＝vBt2＋a2t
L＝x1＋x2
联立可得 t1＝0.8 s
(3)由B至C过程根据动能定理(第3个小题)
mgh＝mv－mv
得：vC＝5 m/s
所以cos α＝＝0.6
滑块从E点上抛至落回的时间用t0表示，(第5个小题)
则vE＝g＝2 m/s
滑块沿圆弧轨道由C到E过程，(第4个小题)
设克服摩擦力做功为Wf，由动能定理
－mgR·cos α－Wf＝mv－mv
可得：Wf＝27 J
【典例4】(2016全国卷Ⅰ，25)如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g。(取sin 37°＝，cos 37°＝)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
【答案】 (1)2 (2)mgR (3)m
【解析】 解析 (1)由题意可知：lBC＝7R－2R＝5R①
设P到达B点时的速度为vB，由动能定理得
mglBCsin θ－μmglBCcos θ＝mv②
式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得
vB＝2③
(3)设改变后P的质量为m1，D点与G点的水平距离为x1和竖直距离为y1，θ＝37°。由几何关系(如图所示)得：
x1＝R－Rsin θ＝3R⑨
y1＝R＋R＋Rcos θ＝R⑩
设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。
由平抛运动公式得：
y1＝gt2⑪
x1＝vDt⑫
联立⑨⑩⑪⑫得
vD＝⑬
设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有
m1v＝m1v＋m1g(R＋Rcos θ)⑭
P由E点运动到C点的过程中，由动能定理得
Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝m1v⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮得
m1＝m
机械能守恒定律的理解与应用
一 机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
二 单个物体的机械能守恒
1.机械能守恒定律的表达式
2. 机械能守恒定律解题的基本思路
①选取研究对象——物体系或物体．
②根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．
③恰当地选取参考平面，确定研究对象初末态时的机械能．
④灵活选取机械能守恒的表达式列机械能守恒定律方程．
⑤解方程，统一单位，进行运算，求出结果，进行检验．
三 系统机械能守恒
由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。
系统间的相互作用力分为三类：
（1）刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等
（2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。
（3）其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。
在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。
【典例5】.(2015·新课标全国卷Ⅱ·21)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】 BD
【典例6】.如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看成质点)，且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g)，下列说法正确的是( )
A．A球增加的机械能等于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为
D．细杆对A球做的功为mgR
【答案】 AD
【典例7】．(多选) 如图所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。则在各小球运动过程中，下列说法正确的是( )
A．球1的机械能守恒
B．球6在OA段机械能增大
C．球6的水平射程最小
D．六个球落地点各不相同
【答案】BC
功能关系的理解与应用（几种常见题型）
一 与弹簧相关的功能关系问题
【典例8】 (2016·全国甲卷·25)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接.AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示.物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围.
【答案】 (1) 2l (2)m≤M
Ep＝5mgl ①
设P到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得
Ep＝mv＋μmg(5l－l) ②
联立①②式，并代入题给数据得
vB＝ ③
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足
－mg≥0 ④
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零.由①②式可知
5mgl>μMg·4l ⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
MvB′2≤Mgl ⑪
Ep＝MvB′2＋μMg·4l ⑫
联立①⑩⑪⑫式得
m≤M
解决功能关系问题应注意的三个方面
1.分析清楚是什么力做功，并且清楚该力做正功，还是做负功；根据功能之间的对应关系，判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况.
2.也可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤其是可以方便计算变力做功的多少.
3.功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度和原因，在不同问题中的具体表现不同.
二 与摩擦生热相关的功能关系问题
1．传送带模型：是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况。一般设问的角度有两个：
(1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2．传送带模型问题中的功能关系分析
(1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
(2)对W和Q的理解：
①传送带做的功：W＝Ffx传；
②产生的内能Q＝Ffx相对。
【典例9】(2015·天津理综·10)某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图，皮带在电动机的带动下保持v＝1 m/s的恒定速度向右运动，现将一质量为m＝2 kg的邮件轻放在皮带上，邮件和皮带间的动摩擦因数μ＝0.5。设皮带足够长，取g＝10 m/s2，在邮件与皮带发生相对滑动的过程中，求：
(1)邮件滑动的时间t；
(2)邮件对地的位移大小x；
(3)邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。
【答案】 (1)0.2 s (2)0.1 m (3)－2 J
(2)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，对邮件应用动能定理，有
Fx＝mv2－0④
由①④式并代入数据得
x＝0.1 m⑤
(3)邮件与皮带发生相对滑动的过程中，设皮带相对地面的位移为x′，则x′＝vt⑥
摩擦力对皮带做的功
W＝－Fx′⑦
由①③⑥⑦式并代入数据得W＝－2 J。
【高考预测补缺训练】
1.质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量。该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )
A．GMm B．GMm
C. D.
【答案】 C
故卫星由半径为R1的轨道变为半径为R2的轨道的过程中损失的机械能为：
ΔE＝E1－E2＝Ep1＋Ek1－(Ep2＋Ek2)
代入数据可得
ΔE＝
由能量转化和守恒定律得，卫星损失的机械能等于通过摩擦产生的热量，产生的热量为，C项正确。
2. 如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m。当物体到达B点后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点的距离AD＝3 m，挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm。
【答案】 (1)0.52 (2)24.5 J
【解析】 (1)物体从开始位置A点到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°①
物体克服摩擦力产生的热量为
Q＝Ffx②
其中x为物体的路程，即x＝5.4 m③
Ff＝μmgcos 37°④
由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤
由①②③④⑤式解得μ＝0.52。
3．如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放在倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉直水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm。(g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)轻质细绳受到的拉力最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)轻质弹簧所获得的最大弹性势能Ep。
【答案】 (1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J
(2)由D到A，小球做平抛运动
v＝2gh③
tan 53°＝④
联立③④解得h＝16 cm。
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°)，代入数据得：Ep＝2.9 J。．
4．如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)若圆环恰能下降h＝3 m，A和B的质量应满足什么关系？
(2)若圆环下降h＝3 m时的速度vB＝5 m/s，则A和B的质量有何关系？
(3)不管A和B的质量为多大，圆环下降h＝3 m时的速度不可能超过多大？
【答案】 (1)M＝3m (2)＝ (3)2 m/s
(2)若圆环下降h＝3 m时的速度vB＝5 m/s，由机械能守恒定律有
mgh－MghA＝mv＋Mv
又h2＋l2＝(l＋hA)2
如图所示，A、B的速度关系为
vA＝vBcos θ＝vB·
解得A和B的质量关系为＝
(3)B的质量比A的大得越多，圆环下降h＝3 m时的速度越大，当m≫M时可认为B下落过程机械能守恒，有mgh＝mv
解得圆环的最大速度vBm＝2 m/s
即圆环下降h＝3 m时的速度不可能超过2 m/s。
5．如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m＝2 kg的小球A。半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2 kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现给小球A一个水平向右的恒力F＝50 N。(取g＝10 m/s2)则( )
A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F做功为20 J
B．小球B运动到C处时的速度大小为0
C．小球B被拉到与小球A速度大小相等时，sin∠OPB＝
D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J
【答案】AC
设最低点势能为0，小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加，
ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv2＋mgR＝20 J，故D错误。
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