专题04 电学中的曲线运动-备战2021届高考物理二轮复习题型专练

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一、带电粒子在电场中的曲线运动
1.带电粒子在非匀强电场中的曲线运动
(1)电场力指向轨迹的凹侧。
(2)带电粒子做变加速运动，qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)。
2.带电粒子在匀强电场中的偏转问题
(1)把偏转运动分解为两个独立的直线运动
①平行于极板的匀速直线运动：L＝v0t。
②垂直于极板的匀加速直线运动：a＝eq \f(qU,md)，vy＝at，
偏转距离y＝eq \f(1,2)at2，速度偏转角tan θ＝eq \f(vy,v0)。
(2)根据动能定理，带电粒子的动能变化量ΔEk＝eq \f(y,d)qU。
二、带电粒子在磁场中的圆周运动
1.运动电荷在有界匀强磁场中运动的常见情景
(1)从直线边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度方向与边界的夹角相等。
(2)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，一定沿半径方向射出。
2.带电粒子在磁场中做圆周运动引起多解的原因
(1)带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。
(2)磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。
(3)临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同分别求解。
(4)圆周运动的周期性形成多解。
【方法指导】
一、带电粒子在电场中的运动解题途径的选择
1.求解带电粒子在匀强电场中的运动时，运动和力、功能关系两个途径都适用，选择依据是题给条件，当不涉及时间时选择功能关系，否则必须选择运动和力。
2.带电粒子在非匀强电场中运动时，加速度不断变化，只能选择功能关系求解。
二、带电粒子在磁场中的运动处理方法
1.“一点、两画、三定、四写”求解粒子在磁场中的圆周运动
(1)一点：特殊位置或要求粒子到达的位置(如初始位置、要求经过的某一位置等)。
(2)两画：画出速度v和洛伦兹力F两个矢量的方向。
(3)三定：定圆心、定半径、定圆心角。
(4)四写：写出基本方程qvB＝meq \f(v2,R)，半径R＝eq \f(mv,qB)，周期T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，运动时间t＝eq \f(s,v)＝eq \f(α,2π)T。
2.带电粒子在磁场中运动的多解问题的处理技巧
对于圆周运动的周期性形成的多解问题，要注意系列解出现的可能，要注意每种解出现的条件，并寻找相关的通项公式。
命题点一： 带电粒子(或带电体)在电场中的曲线运动
考向一 带电粒子在匀强电场中的曲线运动
【典例1】 如图1，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G的尺寸相同。G接地，P、Q的电势均为φ(φ＞0)。质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（图1）
(1)求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
(2)若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
考向二 带电体在匀强电场中的曲线运动
【典例2】 用长为1.4 m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1.0×10－2 kg、电荷量为2.0×10－8 C的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°角，如图2所示。现向左拉小球使细线水平且拉直，静止释放，则(sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)( )
A.该匀强电场的场强为3.75×107 N/C
B.平衡时细线的拉力为0.17 N
C.经过0.5 s，小球的速度大小为6.25 m/s
D.小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7 m/s （图2）
考向三 带电粒子在交变电场中的曲线运动
【典例3】 如图3甲所示，两水平金属板A、B间的距离为d，极板长为l，A、B右端有一竖直放置的荧光屏，荧光屏距A、B右端的距离为0.7l。A、B两板间加上如图乙所示的方波形电压，电压的正向值为U0，反向值也为U0，A、B间的电场可看作匀强电场，且两板外无电场。现有质量为m、电荷量为e(重力不计)的电子束，以速度v0沿A、B两板间的中心线OO′射入两板间的偏转电场，所有电子均能通过偏转电场，最后打在荧光屏上。
（图3）
(1)求电子通过偏转电场的时间t0；
(2)若UAB的周期T＝t0，求从OO′上方飞出偏转电场的电子在飞出时离OO′的最大距离；
(3)若UAB的周期T＝2t0，求电子击中荧光屏上O′点时的速率。
【拓展练习】
1.一匀强电场的方向竖直向上。t＝0时刻，一带电粒子以一定初速度水平射入该电场，电场力对粒子做功的功率为P，不计粒子重力，则P－t关系图象是( )
2.(多选)如图4甲，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～eq \f(T,3)时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出。微粒运动过程中未与金属板接触。重力加速度的大小为g。关于微粒在0～T 时间内运动的描述，正确的是( )
A.末速度大小为eq \r(2)v0
B.末速度沿水平方向
C.重力势能减少了eq \f(1,2)mgd
D.克服电场力做功为mgd （图4）
3.在xOy直角坐标系中，两个边长相同的正方形如图5所示排列，第Ⅰ象限的正方形区域ABOC中有水平向左的匀强电场，电场强度大小E0＝2 V/m，在第Ⅱ象限的正方形COED的对角线CE左侧CED区域内有竖直向下的匀强电场，三角形OEC区域内无电场，现有一带电荷量为q(q>0)、质量为m的带电粒子(重力不计)从AB边上的A点由静止释放，恰好能通过E点。
（图5）
(1)求CED区域内匀强电场的电场强度的大小E1；
(2)保持第(1)问中电场强度不变，若在正方形区域ABOC中某些点由静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有粒子都经过E点，则释放点的坐标值x、y间应满足什么关系？
命题点二： 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
考向一 带电粒子在相邻两个匀强磁场中的圆周运动
【典例1】 如图6，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为eq \f(1,2)B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为( )
A.eq \f(5πm,6qB)
B.eq \f(7πm,6qB)
C.eq \f(11πm,6qB)
D.eq \f(13πm,6qB) （图6）
考向二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、极值问题
【典例2】 如图7所示，在水平线ab的下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、eq \r(3)R的半圆环形区域，外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N射出。不计粒子重力。
（图7）
(1)求粒子从P到M所用的时间；
(2)若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，同样能由M进入磁场，从N射出。粒子从M到N的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度v0的大小。
考向三 带电粒子在磁场中运动的多解问题
【典例3】 如图8所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN＝L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为－q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d（图8）
(1)求粒子运动速度的大小v；
(2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM＝d，QN＝eq \f(d,2)，求粒子从P到Q的运动时间t。
【拓展练习】
1.如图9所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是( )
A.粒子带正电
B.粒子在b点速率大于在a点速率
C.若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D.若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 （图9）
2.如图10所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( )
A.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2 （图10）
3.如图11，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl
B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl
D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl （图11）
4.如图12所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子。在放射源右侧有一很薄的挡板，垂直于x轴放置，挡板与xOy平面交线的两端M、N正好与原点O构成等边三角形，O′为挡板与x轴的交点。在整个空间中，有垂直于xOy平面向外的匀强磁场(图中未画出)
(1)确定带电粒子的电性；
(2)要使带电粒子不打在挡板上，求磁感应强度的最小值；
(3)要使MN的右侧都有粒子打到，求磁感应强度的最大值。(计算过程中，要求画出各临界状态的轨迹图)
带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动。已知带电粒子的质量为m，带电荷量大小为q，速度大小为v，MN的长度为L。(不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用)
（图12）
【专题训练】
一、选择题(1～4题为单项选择题，5～7题为多项选择题)
1.如图1所示，平行板电容器两极板的间距为d，极板与水平面成45°角，上极板带正电。一电荷量为q(q＞0)的粒子在电容器中靠近下极板处，以初动能Ek0竖直向上射出。不计重力，极板尺寸足够大。若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为( )
A.eq \f(Ek0,4qd) B.eq \f(Ek0,2qd)
C.eq \f(\r(2)Ek0,2qd) D.eq \f(\r(2)Ek0,qd) （图1）
2.如图2所示，处于真空中的匀强电场水平向右，有一质量为m、带电荷量为－q的小球从P点以大小为v0的初速度水平向右抛出，经过t时间到达Q点(图中未画出)时的速度大小仍为v0，重力加速度大小为g，则小球由P点运动到Q点的过程中，下列判断正确的是( )
A.Q点在P点正下方
B.小球电势能减少
C.小球重力势能减少量等于eq \f(1,2)mg2t2
D.Q点应位于P点所在竖直线的左侧 （图2）
3.一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图3所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
A.eq \f(ω,3B) B.eq \f(ω,2B)
C.eq \f(ω,B) D.eq \f(2ω,B) （图3）
4.如图4所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝L，在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子(不计重力作用)，粒子的比荷为eq \f(q,m)，发射速度大小都为v0，且满足v0＝eq \f(qBL,m)。粒子发射方向与OC边的夹角为θ，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法不正确的是( )
A.粒子有可能打到A点
B.以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最长
C.以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D.在AC边界上只有一半区域有粒子射出 （图4）
5.在半径为R的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场。圆边上的P处有一粒子源，沿垂直于磁场的各个方向，向磁场区发射速率均为v0的同种粒子，如图5所示。现测得：当磁感应强度为B1时，粒子均从由P点开始弧长为eq \f(1,2)πR的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为B2时，粒子则从由P点开始弧长为eq \f(2,3)πR的圆周范围内射出磁场。不计粒子的重力，则( )
A.前后两次粒子运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝eq \r(2)∶eq \r(3)
B.前后两次粒子运动的轨迹半径之比为r1∶r2＝2∶3
C.前后两次磁感应强度的大小之比为B1∶B2＝eq \r(2)∶eq \r(3)
D.前后两次磁感应强度的大小之比为B1∶B2＝eq \r(3)∶eq \r(2) （图5）
6.在光滑水平绝缘的足够大的桌面上建立xOy坐标系，空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，有两个完全相同的质量为m的带正电小球A、B分别位于y轴上纵坐标为y2、y1的位置，电荷量都为q，两个小球都以垂直于y轴、大小为v的速度同时射入磁场。如图6所示(两球若发生碰撞只能是弹性正碰)，要让B球到(0，y2)处，那y2－y1可能的值为( )
A.eq \f(mv,qB0)
B.eq \f(2mv,qB0)
C.eq \f(3mv,qB0)
D.eq \f(4mv,qB0) （图6）
7.长为l、间距为d的平行金属板水平正对放置，竖直光屏M到金属板右端的距离也为l，金属板左端连接有闭合电路，整个装置结构如图7所示，质量为m，电荷量为q的粒子以初速度v0从两金属板正中间自左端水平射入，由于粒子重力作用，重力加速度大小为g，当滑动变阻器的滑片在某一位置时，粒子恰好垂直撞在光屏上。对此过程，下列分析正确的是( )
（图7）
A.粒子在平行金属板间的运动时间和在金属板右端到光屏的运动时间相等
B.板间电场强度大小为eq \f(2mg,q)
C.若仅将滑片P向下滑动一段后，再让该粒子从N点以水平速度v0射入板间，粒子不会垂直打在光屏上
D.若仅将两平行板的间距变大一些，再让该粒子从N点以水平速度v0射入板间，粒子依然会垂直打在光屏上
二、计算题
8.如图8所示，在第一象限内存在两个有界匀强磁场，两磁场以x＝1 m的虚线为分界线，其中左边磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度为B1＝1×10－3 T，右边磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B2＝2×10－3T，在(2 m，0)处存在一个粒子源，可向各个方向发射比荷为1×109 C/kg的带正电的粒子，粒子的速度为v＝2×106 m/s，不计粒子重力。若粒子垂直x轴进入磁场，求粒子最终通过y轴射出磁场的坐标以及该粒子在磁场中的运动时间。
（图8）
9. 在如图9所示的平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限区域内有沿y轴正方向(竖直向上)的匀强电场，电场强度大小E0＝50 N/C；第Ⅳ象限区域内有一宽度d＝0.2 m、方向沿x轴正方向(水平向右)的匀强电场。质量m＝0.1 kg、带电荷量q＝＋1×10－2 C的小球从y轴上P点以一定的初速度垂直y轴方向进入电场，通过第Ⅰ象限后，从x轴上的A点进入第Ⅳ象限，并恰好沿直线通过该区域后从B点离开，已知P、A的坐标分别为(0，0.4)，(0.4，0)，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)初速度v0的大小；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)小球经过B点时的速度大小。
（图9）
10.如图10(a)所示，A、B为两块平行金属板，极板间电压为UAB＝1 125 V，板中央有小孔O和O′。现有足够多的电子源源不断地从小孔O由静止进入A、B之间，在B板右侧，平行金属板M、N长L1＝4×10－2 m，板间距离d＝4×10－3 m，在距离M、N右侧边缘L2＝0.1 m处有一荧光屏P，当M、N之间未加电压时电子沿M板的下边缘穿过，打在荧光屏上的O″并发出荧光。现给金属板M、N之间加一个如图(b)所示的变化电压u1，在t＝0时刻，M板电势低于N板。已知电子质量为me＝9×10－31 kg，电荷量为e＝1.6×10－19 C。
(1)每个电子从B板上的小孔O′射出时的速度多大？
(2)电子打在荧光屏上的范围是多少？
(3)打在荧光屏上的电子的最大动能是多少？
（图10）