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人教版中考数学第一轮考点过关：第二单元方程(组)与不等式(组)课时09一元二次方程及其应用
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这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第二单元方程(组)与不等式(组)课时09一元二次方程及其应用，共41页。PPT课件主要包含了a-xb-x，一元二次方程的应用等内容，欢迎下载使用。
课时09 一元二次方程及其应用
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一元二次方程的应用
考点一 一元二次方程及其解法
2.一元二次方程的解法
考点二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.判别式与根的关系(1)b2-4ac>0⇔方程有④ 的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤ 的实数根; (3)b2-4ac<0⇔方程⑥ 实数根. 2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦ , x1x2=⑧ .
考点三 一元二次方程的实际应用
(a-2x)(b-2x)
2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是 ; (2)方程3x2+6x-4=0的解是 ; (3)方程3x(x+1)=3x+3的解是 .
x1=-3,x2=-7
3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有 个队参加比赛.
[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.
4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是 .
[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.
5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2= ,x1x2= ; (2)2x2+7x+1=0,x1+x2= ,x1x2= ; (3)3x2-1=2x+5,x1+x2= ,x1x2= ; (4)x(x-1)=3x+7,x1+x2= ,x1x2= .
【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.
6.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是 .
7.已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
考向一 一元二次方程的定义和解法
例1 用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法一(配方法):解法二(公式法):解法三(因式分解法):
例1 用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法二(公式法):
例1 用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法三(因式分解法):
解:解法三(因式分解法):原方程化为(x-1)(x-3)=0.所以x-1=0或x-3=0.解得x1=1,x2=3.
精练1 一元二次方程x2-9=0的解是 .
[解析]移项,得:x2=9,运用直接开平方法,解得:x1=3,x2=-3.
精练2 若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则m的值为 .
精练3 解下列方程:(1)(x-1)2=4;(2)x2+6x=-7;(3)x2-3x-2=0.
解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,∴x1=3,x2=-1.
精练3 解下列方程:(2)x2+6x=-7;
精练3 解下列方程:(3)x2-3x-2=0.
考向二 一元二次方程根的判别式的应用
例2 已知关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m-1=0.(1)若方程没有实数根,则m的取值范围是 ; (2)若方程有两个相等实数根,则m= ; (3)若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ; (4)若方程有实数根,则m的取值范围是 ; (5)写出一个满足一元二次方程有两个不相等实数根条件的m的值,并求此时方程的根.
精练1 一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况是( )A.没有实数根B.只有一个实数根C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根
[解析]∵Δ=(-4)2-4×3×1=4>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选D.
精练2 关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )A.k≥0B.k≤0C.k<0且k≠-1D.k≤0且k≠-1
考向三 一元二次方程根与系数的关系
例3 已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则方程的另一个根x2= .
[解析]∵x1+x2=4,x1=3,∴x2=1.
精练2 若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是( )A.2B.-2C.4D.-3
考向四 一元二次方程的实际应用
例4 近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.
例4 近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
解: (2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
【方法点析】变化率问题牢记公式a(1+x)n=b,其中a表示增长(或降低)前的数据, x表示增长率(或降低率),n表示增长(或降低)的次数,b表示增长(或降低)后的数 据.
精练1 王叔叔从市场上买一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图9-2,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为( )A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
精练2 [2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?
解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180<200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.
精练3 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图9-3,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖,铺设地砖费用为每平方米100元.如果计划总费用为642000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
解:设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m,依题意得:3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m.
教材母题——人教版九上P21习题21.3T3一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm,面积是24 cm2.求两条直角边的长.
解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.由题意,得x2+(10-x)2=58.解得x1=3,x2=7.∴这两个正方形的周长分别为4×3=12 cm,4×7=28 cm.∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm长的两段.
精练 李明准备进行如下操作实验:把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你同意他的观点吗?请说明理由.
课时09 一元二次方程及其应用
一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一元二次方程的应用
考点一 一元二次方程及其解法
2.一元二次方程的解法
考点二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.判别式与根的关系(1)b2-4ac>0⇔方程有④ 的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤ 的实数根; (3)b2-4ac<0⇔方程⑥ 实数根. 2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦ , x1x2=⑧ .
考点三 一元二次方程的实际应用
(a-2x)(b-2x)
2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是 ; (2)方程3x2+6x-4=0的解是 ; (3)方程3x(x+1)=3x+3的解是 .
x1=-3,x2=-7
3.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有 个队参加比赛.
[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.
4.[九上P26复习题21第10题改编]向阳村2010年的人均收入为12000元,2012年的人均收入为14520元,则人均收入的年平均增长率是 .
[解析]设年平均增长率为x,由题意得12000(1+x)2=14520,解得x1=-2.1(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.所以年平均增长率为10%.
5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2= ,x1x2= ; (2)2x2+7x+1=0,x1+x2= ,x1x2= ; (3)3x2-1=2x+5,x1+x2= ,x1x2= ; (4)x(x-1)=3x+7,x1+x2= ,x1x2= .
【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.
6.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是 .
7.已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
考向一 一元二次方程的定义和解法
例1 用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法一(配方法):解法二(公式法):解法三(因式分解法):
例1 用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法二(公式法):
例1 用指定的方法解方程:x2-4x+3=0.解法三(因式分解法):
解:解法三(因式分解法):原方程化为(x-1)(x-3)=0.所以x-1=0或x-3=0.解得x1=1,x2=3.
精练1 一元二次方程x2-9=0的解是 .
[解析]移项,得:x2=9,运用直接开平方法,解得:x1=3,x2=-3.
精练2 若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则m的值为 .
精练3 解下列方程:(1)(x-1)2=4;(2)x2+6x=-7;(3)x2-3x-2=0.
解:(1)∵(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,∴x1=3,x2=-1.
精练3 解下列方程:(2)x2+6x=-7;
精练3 解下列方程:(3)x2-3x-2=0.
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例2 已知关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m-1=0.(1)若方程没有实数根,则m的取值范围是 ; (2)若方程有两个相等实数根,则m= ; (3)若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ; (4)若方程有实数根,则m的取值范围是 ; (5)写出一个满足一元二次方程有两个不相等实数根条件的m的值,并求此时方程的根.
精练1 一元二次方程3x2-4x+1=0的根的情况是( )A.没有实数根B.只有一个实数根C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根
[解析]∵Δ=(-4)2-4×3×1=4>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选D.
精练2 关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )A.k≥0B.k≤0C.k<0且k≠-1D.k≤0且k≠-1
考向三 一元二次方程根与系数的关系
例3 已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则方程的另一个根x2= .
[解析]∵x1+x2=4,x1=3,∴x2=1.
精练2 若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1·x2的值是( )A.2B.-2C.4D.-3
考向四 一元二次方程的实际应用
例4 近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
解:(1)设增长率为x,根据题意,得:2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.
例4 近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?
解: (2)2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.
【方法点析】变化率问题牢记公式a(1+x)n=b,其中a表示增长(或降低)前的数据, x表示增长率(或降低率),n表示增长(或降低)的次数,b表示增长(或降低)后的数 据.
精练1 王叔叔从市场上买一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图9-2,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为( )A.(80-x)(70-x)=3000B.80×70-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
精练2 [2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元,则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?
解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000.整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,即x2-360x+32400=0,解得x1=x2=180,x=180<200,符合题意.答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.
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解:设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m,依题意得:3x·2x·100+30(3x·2x-50×40)=642000,解得x1=30,x2=-30(舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长为90 m,宽为60 m.
教材母题——人教版九上P21习题21.3T3一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm,面积是24 cm2.求两条直角边的长.
解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x)cm.由题意,得x2+(10-x)2=58.解得x1=3,x2=7.∴这两个正方形的周长分别为4×3=12 cm,4×7=28 cm.∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm长的两段.
精练 李明准备进行如下操作实验:把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.你同意他的观点吗?请说明理由.
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