人教版中考数学第一轮考点过关：第4单元图形的初步认识与三角形第20课时直角三角形课时训练

这是一份人教版中考数学第一轮考点过关：第4单元图形的初步认识与三角形第20课时直角三角形课时训练，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
图K20－1 图K20－2 图K20－3 图K20－4
2．如图K20－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2 eq \r(10)，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
4．如图K20－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠A＝30°，BD＝2，则AC的长为( )
A．4 B．4 eq \r(3) C．8 D．16
5．如图K20－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( )
A．15 B．30 C．45 D．60
6．如图K20－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )
A．2a B．2 eq \r(2)ª C．3a D.eq \f(4 \r(3),3)a
图K20－5 图K20－6 图K20－7 图K20－8
7．四个全等的直角三角形按图K20－5所示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2 eq \r(2)EF，则正方形ABCD的面积为( )
A．12S B．10S C．9S D．8S
8．如图K20－6，以直角三角形的a，b，c为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况中阴影部分面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图K20－7，在Rt△ABC中，∠B的度数是________．
10．如图K20－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E点，请任意写出一组相等的线段________．
11．如图K20－9，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝________．
12．如图K20－10，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．
图K20－9 图K20－10 图K20－11
13．如图K20－11，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．
三、解答题
14．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图K20－12，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，____________________．
求证：________．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
图K20－12
15．如图K20－13，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 eq \r(3)，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.
(1)线段DC＝________；
(2)求线段DB的长度．
图K20－13

16．如图K20－14，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO.再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，…，如此下去，则线段OAn的长度为________．
图K20－14
17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为__________三角形．
(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形．
(3)当a＝2，b＝4时，根据△ABC的不同形状，求出对应的c的取值范围．
参考答案
1．B [解析] 根据三角形的内角和为180°，可知最大角为180°×eq \f(3,1＋2＋3)＝90°，因此这个三角形是直角三角形．
故选B.
2．D [解析] ∵DE是AC的垂直平分线，∠ACB＝90°，∴DE是△ABC的中位线，又在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理可知BC＝6，∴DE＝eq \f(1,2)BC＝3.
3．C [解析] 根据题意画出示意图．
因为AB＝10，AC＝2 eq \r(10)，AD＝6，根据勾股定理得BD＝8，CD＝2，图①中，BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；图②中，BC＝BD－CD＝8－2＝6，所以BC的长为6或10.
4．B [解析] 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°.
∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝2BC＝8，
∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4 eq \r(3).
5．B [解析] 由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×15×4＝30.故选B.
6．B [解析] 由于CD⊥AB，CD＝DE＝a，所以CE＝eq \r(CD2＋DE2)＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a，又△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，所以AE＝BE＝CE，所以AB＝2CE＝2 eq \r(2)a，故选B.
7．C [解析] 由题意可知小正方形EFGH边长：EF＝EH＝HG＝GF＝eq \r(S)，4个白色的矩形全等，且矩形的长均为eq \r(2S)，宽为(eq \r(2S)－eq \r(S))，则直角三角形的短直角边长为eq \r(S).由勾股定理得AB＝eq \r(BM2＋AM2)＝eq \r(S＋8S)＝3 eq \r(S)，所以正方形ABCD的面积为9S.
8．D [解析] (1)S1＝eq \f(\r(3),4)a2，S2＝eq \f(\r(3),4)b2，S3＝eq \f(\r(3),4)c2，
∵a2＋b2＝c2，∴eq \f(\r(3),4)a2＋eq \f(\r(3),4)b2＝eq \f(\r(3),4)c2，∴S1＋S2＝S3.
(2)S1＝eq \f(π,8)a2，S2＝eq \f(π,8)b2，S3＝eq \f(π,8)c2，∵a2＋b2＝c2，
∴eq \f(π,8)a2＋eq \f(π,8)b2＝eq \f(π,8)c2，∴S1＋S2＝S3.
(3)S1＝eq \f(1,4)a2，S2＝eq \f(1,4)b2，S3＝eq \f(1,4)c2，∵a2＋b2＝c2，
∴eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝eq \f(1,4)c2，∴S1＋S2＝S3.
(4)S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，
∴S1＋S2＝S3.
综上，阴影部分面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有4个．
9．25°
10．BC＝BE(或DC＝DE，BD＝AD等)
11.eq \f(13,2) [解析] AC＝5，BC＝12，AB＝13，因为52＋122＝132，所以△ABC是直角三角形，因为CD是AB边上的中线，所以CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(13,2).
12．013．8 [解析] ∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，
∴DE＝eq \f(1,2)AC＝5，AC＝10.
在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，根据勾股定理，得
CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(102－62)＝8.
14．解：补充已知为：PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E.求证为：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠POD＝∠POE，,∠ODP＝∠OEP，,OP＝OP，))
∴△PDO≌△PEO(AAS)，
∴PD＝PE.
15．解：(1)4
(2)∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴△CAD是等边三角形，
∴CD＝AC＝4，∠ACD＝60°，过点D作DE⊥BC于E.
∵AC⊥BC，∠ACD＝60°，∴∠BCD＝30°.
在Rt△CDE中，CD＝4，∠BCD＝30°，
∴DE＝eq \f(1,2)CD＝2，CE＝2 eq \r(3)，
∴BE＝eq \r(3)，
在Rt△DEB中，由勾股定理得DB＝eq \r(7).
16．(eq \r(2))n [解析] 在Rt△A1OB中，OA1＝eq \f(OB,sin45°)＝eq \r(2)，OA2＝eq \f(OA1,sin45°)＝eq \f(\r(2),\f(\r(2),2))＝(eq \r(2))2，…，∴OAn＝(eq \r(2))n.
17．解：(1)锐角 钝角 (2)＞ ＜
(3)∵a＝2，b＝4，∴4≤c＜6.
当a2＋b2＝c2，即c＝2 eq \r(5)时，△ABC是直角三角形；
当4≤c＜2 eq \r(5)时，△ABC是锐角三角形；
当2 eq \r(5)＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．