2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第九章 平面解析几何 第五节 椭圆 Word版含解析

第五节　椭圆

A组　基础题组

1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　)

A.  B.(1,+∞) C.(1,2)  D.

2.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于(　　)

A.2  B.4  C.8  D.

3.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)

A.+=1 B.+=1

C.+=1 D.+=1

5.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为(　　)

A.  B. C.  D.

6.直线x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为　　　　　　　. 

7.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为　　　　. 

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.

(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;

(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;

(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

10.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.  B. C.  D.

11.已知椭圆+=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为(　　)

A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1

12.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于　　　　. 

13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为　　　　　　. 

14.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆E的离心率;

(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

答案全解全析

A组　基础题组

1.C　∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴解得故k的取值范围为(1,2).

2.B　设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,

∴|MF2|=10-|MF1|=8.

由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.

3.A　如图,设PF1的中点为M,连接PF2.

因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.

所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.

因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.

由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,

由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,

则e==·=.

4.D　直线AB的斜率k==,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则

①-②得=-·.

即k=-×,

∴=.　　　　　　③

又a2-b2=c2=9, ④

由③④得a2=18,b2=9.

∴椭圆E的方程为+=1,故选D.

5.B　由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.

6.答案　+y2=1

解析　直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1.

所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为+y2=1.

7.答案　3

解析　由题意知|F1F2|=2,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3.

8.解析　设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).

(1)因为B(0,b),所以BF2==a.

又BF2=,故a=.

因为点C在椭圆上,

所以+=1,解得b2=1.

故所求椭圆的方程为+y2=1.

(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,

所以直线AB的方程为+=1.

解方程组

得

所以点A的坐标为.

又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.

因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.

9.解析　(1)根据c=及题设知M,∴=,即2b2=3ac.

将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).

故C的离心率为.

(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①

由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

设N(x1,y1),由题意知y1<0,

则即

代入C的方程,得+=1.②

将①及c=代入②得+=1.

解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.

B组　提升题组

10.A　直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于,得≥,即b≥1.所以e2===≤,又0<e<1,所以e∈,故选A.

11.C　由题意知a-c=-1①,b==1,所以a2-c2=1②,联立①②解得所以椭圆C的方程为+y2=1.故选C.

12.答案　3

解析　在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3.

13.答案　

解析　设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b2<ac,即a2-c2<ac,故+-1>0,即e2+e-1>0,解得e>或e<,又0<e<1,∴<e<1.

14.解析　(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,

则原点O到该直线的距离d==,

由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.

(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①

依题意,得圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.

易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,

x1x2=.

由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.

从而x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|==.

由|AB|=,得=,解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.

解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②

依题意,得点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,

两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得

-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,

易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,

所以AB的斜率kAB==.

因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,

代入②得x2+4x+8-2b2=0.

所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|

==.

由|AB|=,得=,

解得b2=3.

故椭圆E的方程为+=1.