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【精品讲义】中考数学一轮复习 第3讲 整式乘除及分解因式、分式
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这是一份【精品讲义】中考数学一轮复习 第3讲 整式乘除及分解因式、分式，共8页。
1.理解整式的有关概念，对指数幂的意义和基本性质有所掌握并且能够灵活运用
2.熟练并能运用整式加减、乘法法则
3.梳理并能够运用乘法公式，并能够进行简便运算
4.熟练并能运用提取公因式，公式法进行因式分解
5.理解并掌握方式的性质与分式运算的方法
课前热身
1.若x=﹣，y=4，则代数式3x+y﹣3的值为（ ）
2.若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为
3.下列运算正确的是（ ）
4.已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 .
5.如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 .
6.先化简，在求值： ，其中.
导学一：整式乘除
知识点一：整式及其运算法则
注意问题归纳：
1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；
2、多项式的次数是指次数最高的项的次数.
3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同.
基础知识归纳：
（1）同底数幂相乘：am·an＝ （m，n都是整数，a≠0）
（2）幂的乘方：（am）n＝ （m，n都是整数，a≠0）
（3）积的乘方：（ab）n＝ （n是整数，a≠0，b≠0）
（4）同底数幂相除：am÷an＝ （m，n都是整数，a≠0）
注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理.
1.计算的结果为 .
2.若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=________.
3.按如图所示的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是 .
知识点二：乘法公式
基础知识归纳：
1.整式的加减法：实质上就是合并同类项
2.整式乘法
①单项式乘多项式：m（a＋b）＝ ；
②多项式乘多项式：（a＋b）（c＋d）＝
③乘法公式：平方差公式：（a+b）（a-b）= ；完全平方公式：（a±b）2=
3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加.
注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算.
1.下列计算正确的是（ ）
2.化简：.
3.已知，则代数式的值是( )
4.先化简，再求值：，其中.
导学二：因式分解
归纳 1：因式分解的有关概念
基础知识归纳：
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
注意问题归纳：
符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式.
2.因式分解与整式乘法是互逆运算.
归纳 2：提取公因式法分解因式
基础知识归纳：
将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂.
提取公因式法：ma＋mb－mc=
注意问题归纳：
提公因式要注意系数；
要注意查找相同字母，要提净.
归纳 3：运用公式法分解因式
基础知识归纳：
运用平方差公式：a2－b2= ；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2= .
注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解.
归纳 4：综合运用多种方法分解因式
基础知识归纳：
因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解.解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项.
注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底.
1.若关于的二次三项式是完全平方式，则的值是________.
2.把多项式因式分解的结果是__________. __________.
3.分解因式：___________________.
导学三：分式
知识点一：分数的性质
归纳 1：分式的有关概念
基础知识归纳：
分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零.
注意问题归纳：
分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0.
分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0.
归纳 2：分式的性质
基础知识归纳：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为
注意问题归纳：
分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.
1.使分式有意义的x的取值范围是_________.
2.当x=6，y=﹣2时，代数式的值为_________.
3.如图所示，图1是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图2, 是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，则可化简为__________.
知识点二：分式的运算
归纳 1：分式的加减运算
基础知识归纳：
加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减
② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 .
注意问题归纳：
1.分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
2.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.
归纳 2：分式的乘除运算
基础知识归纳:
1.乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方.
2.除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.
注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去.
归纳3：分式的混合运算
基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算.若有括号，先算括号里面的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式.
注意问题归纳：注意运算顺序，计算准确.
1.化简的结果是（ ）
2.先化简，再求值.，其中从0,1,2,3,四个数中适当选取.
3. a，b互为倒数，代数式的值为________________
限时小测
1.要使代数式有意义，则x的取值范围是____________________.
2.分解因式：2x2﹣8xy+8y2=_________________
3. ________________
4.先化简，再求值：，其中a=﹣2．
课后练习
1.下列运算正确的是（ ）
2.若代数式有意义，则实数的取值范围是___________________.
3.已知，则代数式的值是___________________.
4.先化简：，然后解答下列问题：
（1）当时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于吗？为什么？
1.理解整式的有关概念，对指数幂的意义和基本性质有所掌握并且能够灵活运用
2.熟练并能运用整式加减、乘法法则
3.梳理并能够运用乘法公式，并能够进行简便运算
4.熟练并能运用提取公因式，公式法进行因式分解
5.理解并掌握方式的性质与分式运算的方法
课前热身
1.若x=﹣，y=4，则代数式3x+y﹣3的值为（ ）
2.若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围为
3.下列运算正确的是（ ）
4.已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 .
5.如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 .
6.先化简，在求值： ，其中.
导学一：整式乘除
知识点一：整式及其运算法则
注意问题归纳：
1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；
2、多项式的次数是指次数最高的项的次数.
3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同.
基础知识归纳：
（1）同底数幂相乘：am·an＝ （m，n都是整数，a≠0）
（2）幂的乘方：（am）n＝ （m，n都是整数，a≠0）
（3）积的乘方：（ab）n＝ （n是整数，a≠0，b≠0）
（4）同底数幂相除：am÷an＝ （m，n都是整数，a≠0）
注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理.
1.计算的结果为 .
2.若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=________.
3.按如图所示的运算程序,能使输出结果为3的x,y的值是 .
知识点二：乘法公式
基础知识归纳：
1.整式的加减法：实质上就是合并同类项
2.整式乘法
①单项式乘多项式：m（a＋b）＝ ；
②多项式乘多项式：（a＋b）（c＋d）＝
③乘法公式：平方差公式：（a+b）（a-b）= ；完全平方公式：（a±b）2=
3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加.
注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算.
1.下列计算正确的是（ ）
2.化简：.
3.已知，则代数式的值是( )
4.先化简，再求值：，其中.
导学二：因式分解
归纳 1：因式分解的有关概念
基础知识归纳：
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
注意问题归纳：
符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式.
2.因式分解与整式乘法是互逆运算.
归纳 2：提取公因式法分解因式
基础知识归纳：
将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂.
提取公因式法：ma＋mb－mc=
注意问题归纳：
提公因式要注意系数；
要注意查找相同字母，要提净.
归纳 3：运用公式法分解因式
基础知识归纳：
运用平方差公式：a2－b2= ；
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2= .
注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解.
归纳 4：综合运用多种方法分解因式
基础知识归纳：
因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解.解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项.
注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底.
1.若关于的二次三项式是完全平方式，则的值是________.
2.把多项式因式分解的结果是__________. __________.
3.分解因式：___________________.
导学三：分式
知识点一：分数的性质
归纳 1：分式的有关概念
基础知识归纳：
分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零.
注意问题归纳：
分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0.
分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0.
归纳 2：分式的性质
基础知识归纳：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为
注意问题归纳：
分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.
1.使分式有意义的x的取值范围是_________.
2.当x=6，y=﹣2时，代数式的值为_________.
3.如图所示，图1是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图2, 是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，则可化简为__________.
知识点二：分式的运算
归纳 1：分式的加减运算
基础知识归纳：
加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减
② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 .
注意问题归纳：
1.分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
2.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.
归纳 2：分式的乘除运算
基础知识归纳:
1.乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方.
2.除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.
注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去.
归纳3：分式的混合运算
基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算.若有括号，先算括号里面的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式.
注意问题归纳：注意运算顺序，计算准确.
1.化简的结果是（ ）
2.先化简，再求值.，其中从0,1,2,3,四个数中适当选取.
3. a，b互为倒数，代数式的值为________________
限时小测
1.要使代数式有意义，则x的取值范围是____________________.
2.分解因式：2x2﹣8xy+8y2=_________________
3. ________________
4.先化简，再求值：，其中a=﹣2．
课后练习
1.下列运算正确的是（ ）
2.若代数式有意义，则实数的取值范围是___________________.
3.已知，则代数式的值是___________________.
4.先化简：，然后解答下列问题：
（1）当时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于吗？为什么？
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