【精品讲义】中考数学一轮复习 第13讲 全等三角形、等腰三角形及勾股定理

这是一份【精品讲义】中考数学一轮复习 第13讲 全等三角形、等腰三角形及勾股定理，共8页。

1.知道等腰三角形、全等三角形、直角三角形，并能准确的判断
2.理解并掌握全等三角形的判定方法，并能够解决相关问题
3.能准确理解等腰三角形的性质；并能够解决等腰三角形的有关计算
4.能利用勾股定理解决有关计算与证明
课前热身
1.一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为_______.
3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为_______.
导学一：全等三角形
归纳 1：全等三角形的性质
基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等
基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题
注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．
归纳 2：全等三角形的判定方法
基础知识归纳：三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．
基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
归纳 3：角平分线
基础知识归纳： 角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．
基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．
1.已知，垂足分别为。求证AB∥CD。
2..如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
3.如图，，，点在边上，，和相交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
导学二：等腰三角形
归纳 1：等腰三角形
基础知识归纳：1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则＜a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题．
归纳 2：等边三角形
基础知识归纳：1．定义
三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3．判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三
1.已知等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,如图,则∠APE的度数是________.
2.在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为__________．
3.如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
导学二：勾股定理
基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2；
基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查．
1.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为________.
牛刀小试
1.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
限时小测
1.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
2.若a,b,c表示△ABC的三边,且满足+|a-12|+(b-13)2=0,则此三角形的形状为________.
3.如图,某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
4.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
课后练习
1.如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有________对全等三角形.
2.如图,∠A=15°,∠C=90°,DE垂直平分AB交AC于E,若BC=4 cm,则AC=________.
3.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为_____．
4.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为___________．
5.如图,△ABC中,∠ABC=∠BAC=45°,点P在AB上,AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D、E.
(1)求证:△BEC≌△CDA;
(2)若AB=,AD=4,求BE的长.