【精品讲义】中考数学一轮复习 第15讲 锐角三角函数

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1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算
2.掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形
3.利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题
课前热身
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为 ．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ct A＝.则下列关系式中不成立的是( )
3.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1: ，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是 ．
4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为 ．
5.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ =0，则α+β= ．
导学一:锐角三角函数的定义
1.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则csA的值为 ．
2.若锐角α满足csα＜且tanα＜，则α的范围是 ．
3.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD= ．
α是锐角，且csα＝，则（ ）
5.如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2）
导学二：特殊角的三角函数值
知识点：特殊角的三角函数值
2、三角函数关系
（1）同角三角函数关系：
，
（2）互余角三角函数关系：
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则csB的值是 ．
2.下列式子错误的是（ ）
3.在△ABC中，，则△ABC为（ ）
4.计算：
牛刀小试
1.已知α为锐角，sin（α-20°）=，则α=（ ）
导学三：解直角三角形
知识点：基本图形
定义：
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)
2、直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
（1）三边之间的关系：________________________；
（2）锐角之间的关系：________________________；
（3）边角之间的关系：sin A＝，cs A＝，tan A＝，sin B＝，cs B＝，tan B＝.
（4）面积公式：（h为斜边上的高）.
3、解直角三角形的几种类型及解法：
（1）已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝ (或b＝)；
（2）已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，
其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cs A(或b＝)；
（3）已知两直角边a，b，
其解法为：c＝，由tan A＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；
（4）已知斜边和一直角边(如c，a)，
其解法为：b＝，由sin A＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A.
1.如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（ ）
2.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为________________
3.如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=，sin∠DBC=，求对角线AC的长．
牛刀小试
1.如图，在2×2的网格中，以顶点O为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则tan∠ABO的值为（ ）
2.如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是_________。
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：
（1）线段BE的长；
（2）∠ECB的余切值．
知识点：实际应用
1、仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
2、坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点铅直高度h与水平距离l之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，. 坡角越大，坡度越大，坡面越抖．
3、方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.
1.如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）
2.如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）
课后练习
1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么csα的值是
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=
3.如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则csC= ．
4.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为 m（结果保留根号）．
5.如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．