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【精品 讲义】中考数学二轮复习 专题复习 第4讲 简单几何证明
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这是一份【精品 讲义】中考数学二轮复习 专题复习 第4讲 简单几何证明，共9页。
1.熟练掌握三角形、四边形和圆的性质和判定，并能简单应用
2.对定理和概念进行梳理，理解记忆
3.培养学生的思维能力和计算能力
课前热身
1.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
2.矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG=FH．
3.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
导学一：与三角形有关的证明
1.已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
2.如图，AC是▱ABCD的对角线，CE⊥AD，垂足为点E．
（1）用尺规作图作AF⊥BC，垂足为F（保留作图痕迹）；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
3.如图，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）若AD=1，BE=2，求△ABC的面积．
4.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF．
(1)求证：△CAE∽△CBF
(2)若BE=1，AE=2，求CE的长．
导学二：与四边形有关的证明
1.如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2=OE•OF．
2.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若BD=6，AF=4，CD=3，求BE的长。
4.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，
DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
6.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
7.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
导学三：与圆有关的证明
知识点：切线的判定和性质
圆的切线的性质：
（1）圆的切线垂直于过切点的直径．
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
（3）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．
（二）圆的切线的判定方法：
（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
（2）点线距离法：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
1.如图，在Rt△ABC中，，以AC为直径的⊙ O与 AB边交于点D，点
为BC的中点，连接DE．
（）求证：DE是⊙ O的切线．
（）若，，求AC的长度．
2.如图，为⊙ O的直径，点为⊙ O 上一点，若∠BAC=∠CAM，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断与⊙ O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与的延长线相交于点，⊙ O的半径为3，并且.求的长．
3.如图，直径为AB的⊙O交的两条直角边BC、CD于点E、F，且弧AF=弧EF，连接BF.
（1）求证CD为⊙O的切线；（2）当CF=1且∠D=30°时，求AD长.
知识点：综合题
1.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P是上一点，连接AP，CP，作射线BP
（1）求证：PC平分∠APB；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AP=2，PC=5，求△ABC的面积.
2.如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB2=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
3.如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．
自主学习
1.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F.
（1）求证：△ABD≌△BCE
（2）求证：
2.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
3.如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
1.熟练掌握三角形、四边形和圆的性质和判定，并能简单应用
2.对定理和概念进行梳理，理解记忆
3.培养学生的思维能力和计算能力
课前热身
1.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
2.矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）EG=FH．
3.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
导学一：与三角形有关的证明
1.已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
2.如图，AC是▱ABCD的对角线，CE⊥AD，垂足为点E．
（1）用尺规作图作AF⊥BC，垂足为F（保留作图痕迹）；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
3.如图，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）若AD=1，BE=2，求△ABC的面积．
4.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF．
(1)求证：△CAE∽△CBF
(2)若BE=1，AE=2，求CE的长．
导学二：与四边形有关的证明
1.如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2=OE•OF．
2.如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若BD=6，AF=4，CD=3，求BE的长。
4.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．
5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，
DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．
6.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
7.如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
导学三：与圆有关的证明
知识点：切线的判定和性质
圆的切线的性质：
（1）圆的切线垂直于过切点的直径．
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
（3）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心．
（二）圆的切线的判定方法：
（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
（2）点线距离法：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
1.如图，在Rt△ABC中，，以AC为直径的⊙ O与 AB边交于点D，点
为BC的中点，连接DE．
（）求证：DE是⊙ O的切线．
（）若，，求AC的长度．
2.如图，为⊙ O的直径，点为⊙ O 上一点，若∠BAC=∠CAM，过点作直线垂直于射线AM，垂足为点D．
（1）试判断与⊙ O的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与的延长线相交于点，⊙ O的半径为3，并且.求的长．
3.如图，直径为AB的⊙O交的两条直角边BC、CD于点E、F，且弧AF=弧EF，连接BF.
（1）求证CD为⊙O的切线；（2）当CF=1且∠D=30°时，求AD长.
知识点：综合题
1.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P是上一点，连接AP，CP，作射线BP
（1）求证：PC平分∠APB；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AP=2，PC=5，求△ABC的面积.
2.如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB2=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
3.如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．
自主学习
1.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F.
（1）求证：△ABD≌△BCE
（2）求证：
2.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
3.如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
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