初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除综合与测试精品当堂达标检测题

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第1章 整式的乘除重难点突破训练卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；
②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；
③（a3）2＝a5；
④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．
其中运算正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．
【解答】解：①3m2n与5mn2不是同类项，不能合并，计算错误；
②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a5b2，计算错误；
③（a3）2＝a3×2＝a6，计算错误；
④（﹣a3）÷（﹣a）＝（﹣a）3﹣1＝a2，计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
2．（3分）（2020春•锦江区校级期中）今年肆虐全球的新冠肺炎（COVID﹣19）被世界卫生组织（WHO）标识为“全球大流行病”，它给全球人民带来了巨大的灾难．冠状病毒的直径约80﹣120nm，1nm为十亿分之一米，即10﹣9m．将120nm用科学记数法表示正确的是（　　）米．
A．1.2×10﹣7 B．1.2×10﹣8 C．120×10﹣9 D．12×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：120nm＝120×10﹣9m＝1.2×10﹣7m，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2019秋•花都区期末）若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（　　）
A．3x+2 B．x+2 C．3xy+2 D．xy+2
【分析】利用乘除法的关系可得□内应填的式子是：（3x2y+2xy）与xy的商，计算即可．
【解答】解：（3x2y+2xy）÷xy，
＝3x+2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式除以多项式，关键是掌握乘除法之间的关系．
4．（3分）（2020春•天宁区期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c=(-13)-2，d=(-15)0，则a、b、c、d的大小关系是（　　）
A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2=19，c=(-13)-2=9，d=(-15)0=1，
∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
5．（3分）（2020秋•邓州市期中）郑州市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（　　）
A．3a米 B．（3a+1）米
C．（3a+2b）米 D．（3ab2+b2）米
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，
∴这块空地的长为：（3ab+b）÷b＝（3a+1）米．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3分）（2020春•东阳市期末）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣2，n＝﹣4 D．m＝﹣3，n＝﹣6
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；依此即可求解．
【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
又∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得m＝2，n＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
7．（3分）（2020秋•安居区期中）若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2，再开方即可．
【解答】解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，
∴2xy＝62﹣20＝16，
∴xy＝8，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，
∴x﹣y＝±2，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
8．（3分）（2020秋•浦东新区期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（　　）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．大小关系无法确定
【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．
【解答】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，
∵8＜9，
∴m＜n，
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．
9．（3分）（2020春•东阿县期末）如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：

其中能够验证平方差公式有（　　）
A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④
【分析】分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断．
【解答】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以验证平方差公式；
图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以验证平方差公式；
图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以验证平方差公式；
图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以验证平方差公式．
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
10．（3分）（2020春•楚雄州期末）我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．请你猜想（a+b）5的展开式中含a3b2项的系数是（　　）

A．10 B．12 C．9 D．8
【分析】由（a+b）＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，从而可得答案．
【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
∴含a3b2项的系数是10，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•东阿县期末）若2m＝8，2n＝32，则22m+n﹣4＝　128　．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：∵2m＝8，2n＝32，
∴22m+n﹣4＝（2m）2×2n÷24
＝82×32÷24
＝128．
故答案为：128．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
12．（3分）（2020秋•江夏区期末）若2（x+1）﹣1与3（x﹣2）﹣1的值相等，则x＝　﹣7　．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及分式方程的解法得出答案．
【解答】解：∵2（x+1）﹣1与3（x﹣2）﹣1的值相等，
∴2x+1=3x-2，
故2（x﹣2）＝3（x+1），
解得：x＝﹣7，
检验：当x＝﹣7时，（x+1）（x﹣2）≠0，
故分式方程的解为x＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质和分式方程的解法，正确解分式方程是解题关键．
13．（3分）（2020秋•长兴县月考）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以x+y2错抄成乘以x2，结果得到（x2﹣xy），则正确的计算结果是　x2﹣y2　．
【分析】错乘x2，得到（x2﹣xy）可求出没错乘之前的结果，再乘以x+y2即可，
【解答】解：由题意得，
（x2﹣xy）÷x2×x+y2=x（x﹣y）×2x×x+y2=（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，
故答案为：x2﹣y2．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的计算方法，根据逆运算得出正确的计算算式是解决问题的关键．
14．（3分）（2020春•东平县期末）若x2+2kx+116是一个完全平方式，则k＝　±14　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵x2+2kx+116是一个完全平方式，
∴k＝±14，
故答案为：±14．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．（3分）（2020春•赫章县期末）计算2021×2019﹣20202的值为　﹣1　．
【分析】根据平方差公式化简2021×2019即可得出结果．
【解答】解：2021×2019﹣20202
＝（2020+1）×（2020﹣1）﹣20202
＝20202﹣1﹣20202
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
16．（3分）（2020春•宁德期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为　14　．

【分析】直接利用整式的混合运算法则结合已知阴影部分面积进而得出答案．
【解答】解：设小长方形的宽为a，长为b，根据题意可得：
（a+b）2﹣3ab＝39，
故a2+b2﹣ab＝39，
（2b+a）（2a+b）﹣5ab＝106，
故4ab+2b2+2a2+ab﹣5ab＝106，
则2a2+2b2＝106，
即a2+b2＝53，
则53﹣ab＝39，
解得：ab＝14，
故每个小长方形的面积为：14．
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春•绍兴期中）计算：
（1）（3a﹣1）（3a+1）﹣（a﹣4）2．
（2）（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）．
【分析】（1）直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝9a2﹣1﹣（a2﹣8a+16）
＝9a2﹣1﹣a2+8a﹣16
＝8a2+8a﹣17；

（2）原式＝﹣（15x2y÷5xy）+10xy2÷5xy
＝﹣3x+2y．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（8分）（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m•24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．
19．（8分）（2020春•渝中区校级期中）先化简，再求值：求（x﹣2y）2+（3y﹣2x）（﹣2x﹣3y）﹣5（x﹣y）（x+2y）的值，其中x、y满足（x﹣2）2+|y-12|＝0．
【分析】先算乘法，再合并同类项，求出x、y的值后代入，即可求出答案．
【解答】解：（x﹣2y）2+（3y﹣2x）（﹣2x﹣3y）﹣5（x﹣y）（x+2y）
＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣9y2﹣5x2﹣10xy+5xy+10y2
＝﹣9xy+5y2，
∵x、y满足（x﹣2）2+|y-12|＝0，
∴x﹣2＝0，y-12=0，
解得：x＝2，y=12，
当x＝2，y=12时，原式＝﹣9+54=-314．
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．（8分）（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【分析】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；
（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝34，
∴x2+y2＝17，
∴17+2xy＝25，
∴xy＝4；
（2）∵（a﹣b）2＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝3，
∵a2+b2＝15，
∴15﹣2ab＝3，
∴﹣2ab＝﹣12，
∴ab＝6，
∵a2+b2＝15，
∴a2+2ab+b2＝15+12，
∴（a+b）2＝27．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
21．（10分）（2020春•洪泽区期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请比较S1和S2的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．

【分析】（1）先用代数式表示S1，S2，再作差比较即可求解；
（2）根据正方形的周长与面积的公式计算即可求解．
【解答】解：（1）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2＝m2+8m+7﹣（m2+6m+8）
＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8
＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
即S1＞S2；
（2）正方形的周长为：2[（m+1）+（m+7）]+2[（m+2）+（m+4）]
＝2（2m+8）+2（2m+6）
＝4m+16+4m+12
＝8m+28，
∴该正方形的面积为：(8m+284)2=(2m+7)2=4m2+28m+49．
【点睛】本题主要考查列代数式，整式的加减及乘除运算，列代数式是解题的关键．
22．（10分）（2020秋•南通期中）阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝13
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝　x﹣1　，DF＝　x﹣3　；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．

【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．